撰文：Tobin South、Leon Erichsen、Shrey Jain、Petar Maymounkov、Scott Moore、E. Glen Weyl
編譯：Tiao
譯者前言：《多元管理》後三節的內容有大量對於這一機制的數學描述，我在翻譯的過程中也感到頭疼，但因爲它的形式化和數學性，它容易被開發成應用和迭代。相信對去中心化社區治理技術感興趣的人會有所得。
本文是多元管理（Plural Management）一文後三節。上一篇詳見《多元管理：在去中心化社區中誰說了算?（上）》
第 3 節 模型細節
多元管理協議描繪了兩類關鍵活動：優先級子系統和審批子系統。這些子系統共同存在，組成更廣泛的組織結構；在這個結構中，個人可以賺取用於採取各種行動的管理積分。可以在組織建立之初分配這些積分，並隨着新成員參與而自然分配給他們（使創始人的控制力隨着時間推移而實際減弱）。積分可以被存儲在任何簡單的賬本中，在與協議互動時被修改。
圍繞這些管理積分的共享、控制和可見性，存在着許多額外考量。例如，組織是否應該動態地運行管理積分，以公開每個成員的得分？（從而在本質上創建一種隱含的權威排名）、個人是否應能直接將管理積分轉給另一個成員？（這樣做可以簡化新成員的加入流程，並允許資深成員體面地離開，但也可能減弱精英治理，並導致暗箱操作或陰謀），我們將在結論部分回到這些開放問題。
3.1 優先級設置
概述：所有議題都列在一個看板上，成員利用二次方資助機制去花費管理積分，從而設定問題的優先級（例如，如果每個成員支出 Pi 積分，那麼總優先級就是（√Pi)²)。大額積分持有者可被添加至匹配池。當某個問題已有貢獻產生，優先級積分和匹配積分會被凍結，如果貢獻被投票通過，這些積分將分配給貢獻者。
第一個要考慮的子系統是通過問題看板設置優先級的步驟。在看板上，每個重大任務或戰略性挑戰都應被分配一個議題，這類似於大多數開源項目在 GitHub 上運作的方式。
每個成員都可以花費他們的一部分管理積分來設定優先級。這是一個動態的過程，成員可以隨時爲每個議題增加或撤回積分。對於每個分配了 Pi 出去跑積分來爲某個議題設定優先級的成員，我們通過求出他們各自所確定的優先級（譯註：即花費的積分）的平方根之和，再將該總和平方，來計算出問題的總優先級。因此，問題 j 的二次方優先級爲 QPj = (∑√Pji )²。這與二次方資助的原理完全相同，我們還借鑑了匹配基金（Matching Fund）的概念。匹配基金由用於投票的積分生成，或者因大額管理積分持有者（如早期創始成員）而被進一步增加，他們可以選擇將資金分配到匹配池中，以激勵新的貢獻者加入。
實際上，匹配基金可能並不總是有足夠的積分來完全補貼二次方優先級。爲了解決這個問題，總貢獻回報（Contribution Payout，CP）將根據匹配基金的比例去進行調整 [2]。
當對某個問題作出貢獻時，應該將該問題的回報凍結 [3]。然後貢獻進入如下的投票過程。如果投票失敗，該議題將返回看板，以提議其他貢獻。
3.2 審批
概述：貢獻投票允許任何成員以 v² 的成本投 v 票來支持或反對。這是一種標準的單議題二次方投票機制。組織的管理員可以從議題獎勵中預留積分，以激勵成員去預測貢獻的成功概率，並獎勵正確的預測。這有助於激勵小額積分持有者理解更廣泛的組織需求並對貢獻進行盡職調查。預測者將獲得 2v 的回報，管理員可以通過設置參數 K 來降低投票相對於預測的成本。
一旦提出貢獻，它將進入投票階段。任何持有管理積分的成員都有資格投票。根據二次方投票的規則，投出一票的成本是 v² 積分。每個人都可以投支持票或反對票，反對票在計算結果時可以被視爲 v 的負值。和任何二次方投票一樣，應該有一個適當的時間窗口以進行投票，該窗口過後就依照投票總和進行裁決。在簡單情況下，在議題的優先級設置期間投入議題的所有資金都將歸貢獻者所有。成員在投票期間使用的所有積分都將直接流入爲優先級設置而設立的一般匹配基金中 [4]。
這種投票行爲簡單但有成本。這意味着成員可以使用他們賺取的積分行使權威，從而影響組織或項目的方向。因此，社區中只持有少量積分的早期成員可能會發現，相對於持有的積分，他們去影響一次投票的成本較高。這進一步意味着，擁有少量管理積分的成員可能沒有動力去進行盡職調查（工作量通常很大）來評估貢獻是否適合項目。
爲了激勵低權威的成員參與投票併爲貢獻提供質量信號，組織的管理員可以通過一個額外的預測步驟來獎勵投票者。管理員將選擇一個參數 K，以降低投票相對於預測的成本。如果沒有對於正確投票的預測，那麼投票的成本將是 Kv²。如果在投票的同時押注了 v，那麼成本將是 Kv²+v。這些正確預測的回報將來自於貢獻回報，可以看作是一種處理費，以激勵對貢獻進行的分析。
預測者可以選擇在無需付出成本的情況下不做預測，或者押注恰好 v 數額的積分，以期在預測成功時 [5] 獲得 2v 的回報 [6]。對於大的 K 值（例如，1 或更大），由於投票的二次方成本，只有在積分額度極低時投票才具有利潤空間（儘管當預測者認爲通過的可能性大於 ½ 時，人們仍然可以通過押注 v 積分來使損失最小化）。當 K=0 時，投票沒有成本，如果投票者相信他們的投票將會通過，那麼（假設他們是風險中性的）應該押注儘可能多的積分。應避免 K=0 的情況，實際上，定理 3 將會表明 K 值應被設置得足夠高，以避免過度減少對貢獻回報的預期。總的來說，管理員可以逐漸學習和選擇合適的 K 值，以激勵不同的行爲組合。
該機制的一個重要方面是，這種預測獎勵僅對小額投票有利。由於投票的二次方成本，具有較高影響力的大額投票在合理的非零 K 值下永遠不會有利可圖。這是一個重要特性，確保了那些持有大量管理積分的權威人物不會僅僅因爲了解社區偏好就獲得獎勵，而是將獎勵給予那些通過適當的手段尋求影響力的人。
第 4 節 對協議屬性的分析
在此，我們對協議的投票行爲進行分析，旨在展示其特性並推導出實現各種目標或保證所需的參數選擇。我們採用上述結構和定義，並引入假設：每個個體都通過一種根據個人偏好和爲獲得更多管理積分（從而影響未來結果的權力）的線性組合的結果來最大化個人效用。這種分析類似於在機制設計中常常應用的準線性效用設置，並在某些條件下（例如 Buterin 等人（2019）討論的條件）是適用的。儘管 Gorokh 等人（2021）指出這種擴展可能大致適用於已經長期運行的私人物品經濟，但在我們主要研究的公共物品經濟中，其適用性不太明確。儘管如此，這仍是分析這些環境中行爲的標準起點。我們不會明確建模「管理員」的行爲，這些管理員通過提供匹配基金來支持他人的偏好，但可以將他們的行爲理解成是出於社區的共同利益，無論是利他主義、意識形態還是未建模的金錢原因（例如，管理員可能持有該組織生產成果的股份）[7]。
我們會通過一系列定理和證明來支持上述建構，並展示特定值的選擇效果。首先讓我們來關注投票預測的步驟。
定理 1（個人始終會要麼押注 0 積分，要麼押注 v 積分）：對於給定的貢獻投票，一個以使積分最大化爲目標的理性個體在以 v² 的成本投 v 票後，如果成功的可能性小於一半，則押注 0 積分；如果大於一半，則押注 v 的額外積分。
證明：在個體已經投了 v 票的情況下，投票預測輪的回報將是 2w 積分。由於投票結果是二元的，返回的值要麼是 2w 要麼是 0，因此對於成功的概率 2wp，個體的預期回報是 2wp。那麼，減去投票和押注的成本，總的預期利潤爲 2wp- Kv²-w=2(p-½)w - Kv²。
在 v 的條件下，只要預期偏好的發生概率超過 ½，預期利潤就會隨着 v 的增加而線性增長。鑑於 Kv² 已經作爲固定成本支付，個體應在任何出現 p＞½ 的情況下最大化 v。
這給出了直觀的結果，即純粹爲了利潤最大化的預測者應在預期成功概率大於 50% 時押注可能的最大值 v，否則就完全不會押注。
無論採取何種策略（如圖 2 所示），在 K=1 的情況下，投票永遠不會產生正收益。實際上，當投票者對結果非常在意時，押注的回報與二次方成本相比顯得微不足道。通常情況下，如果投票者相信投票會通過，他們可以選擇押注以使成本最小化。對於較小的 K 值，小額投票者可以獲得利潤。
事實上，對於那些純粹追求利潤最大化的個體來說，存在一個 v 的最優選擇。
定理 2（最優的 $v$ 值）：對於給定的 K 值，一個只追求利潤最大化的個體應投出 v=(p-½)/K 的票，但這僅適用於 p＞½ 時，否則不應投票。利用這一結果，我們可以確保貢獻回報不會因對預測的補貼而被過度消耗。
定理 3（不要過度消耗貢獻回報）：可以選擇一個保守的 K 值，以確保用於獎勵預測的費用佔貢獻回報的比例不會超過 α。
證明：假設有 N 個持有積分並純粹追求積分最大化的個體，並且有一個選定的 K 值；如果每個個體都能準確預測並且只在相信自己會成功時才進行押注，那麼每個認爲自己會押注成功並最終的確押中的個體將以 v=1/2K 去投票並押注，這將給他們帶來 1/K 的回報和 2 ÷(1/2K)-K÷(1/2K)-(1/2K)=1/4K 的利潤。因此，優先級設置中貢獻回報的總耗損將是 N/K。
鑑於我們不希望對貢獻回報 CPj 的消耗超過 α, K 應設置爲使得 αCPj＞N/K。這種最大回報只有在所有持有積分的成員都向同一方向投票的情況下才會發生。
在這種情況下，可能會超過總預測回報：一個大額積分的持有者已經知道投票會通過（假設所有成員都投支持票）會以很高的積分成本去進行投票和預測，以進一步減少貢獻回報。該持有者很可能是想減少對貢獻者的獎勵和投票者自身的成本，因而導致這種情形出現。然而，由於二次方成本，該投票會花費極大量的投票積分，因此不太可能出現。
從這個分析中我們可以看到，對於大於 0 的合理 K 值，小額投票會得到小額獎勵，而大額投票幾乎總是成本高昂。這是該設計的重要效果，它創建了一種二次方懲罰，獎勵更多人的參與，並進一步獎勵小額投票者的決策參與，同時使當前持有大量積分的成員純粹尋求積累積分的動機最小化。
圖 2：左上角：當 K=v=1 時，基於不同的 p 值，在爲了最大化利潤的情況下 b 的最優值。如果 p＞½，則 b 應被設爲 v，否則設爲 0。當 K =1 時，利潤嚴格爲負。右上角：對於較小的 K 值，較大的押注可以在正確預測時帶來正向收益。K 值的選擇可以被用來激勵或減少純粹追求利潤的行爲。底部：投出 v 票並做出相應預測的成員的最大利潤。
4.1 混合效用分析
雖然最大化積分回報的分析有助於理解激勵和行爲，但顯然，個體並不僅僅是爲了獲取積分。事實上，獲得積分的主要動機是爲了在未來的投票中實現個人的偏好或信念。
相反，我們可以將效用定義爲（U），它由在任何給定投票中的管理積分收益以及個體對所偏好的結果的期望（ γ ）和實現該結果的二進制指標（ A ）構成。
公式如下：
U=γA+2wp-Kv²-w
從中可以看出，根據混合效用去最大化投注時，我們仍然發現投注在 0 或 $v$ 處的最優點（這自然可以從（d/dw)γA=0 推導出來，換句話說，投注對投票結果沒有影響）。
現在請考慮個體的關鍵性，φ:=dA/dv ，即個體改變投票 A 的結果的能力。爲了方便符號表示，我們引入 W=1ifp＞½ else 0，以簡化對 w 求導的過程，w 將是 v 或 0。
定理 4（混合效用下 v 的最優值）：對於給定的 K，當其結果不太可能出現時（p＜½），個體應投票 γφ/2K；當預期結果很有可能發生時，就增加 (p-½)/K 以獲得額外的獎勵。
證明：我們最大化 v 的混合效用。
這與定理 2 得出的結果相似，但在 γ > 0 時，v 的值會增加。實質上，如果成員對結果沒有偏好（ γ = 0 ），他們應該按照先前的最大化積分回報的方式進行投票。若有偏好，他們應根據自己的慾望和投票對結果的影響程度來選擇一個 v 值去投票。
4.2 一個細緻示例
由於這些數字和分析可能顯得抽象，我們來用一個擬造的小示例來幫助闡明。
假設有一個社區，有一位創始人擁有 2000 積分，還有八位通過貢獻各自獲得 1000 積分的成員。那麼整個池子總共有 10000 積分的池。創始人創建了一個 1000 積分的匹配基金，以支持新加入的成員。在議題板上，該項目現在已有十個待解決的議題。除創始人外的八名成員均將其中一個議題分配爲優先級 5（每人消耗 25 積分）。這個議題的總積分池爲 Capj(t)=5²×8=200，而該議題的二次方優先級爲 QFJ(t)=（5×8）²=1600。由於匹配池中沒有足夠的積分去匹配，所有的貢獻回報將被相應減少。如果我們假設所有問題的優先級都被均勻設置，那麼減少的比例將爲 k=0.1。結果是，貢獻支出爲 CPj(t)=200+100=300。所有這些計算都是自動完成的，成員只需要關注每個議題的總貢獻獎勵。
通過對該議題的貢獻，一名新成員加入社區。高額獎勵激勵她去選擇這個議題而非其它的，但她只是出於興趣而加入社區。管理積分僅在當前社區中有用。
當貢獻進入投票階段時，沒有成員願意投票，因爲他們已經花費了大量積分，而且檢查貢獻非常耗精力。爲了激勵成員，管理員（此處爲創始人）可以設定 K = 0.1，以此來獎勵準確的預測。現在每位成員都檢查了貢獻，5 位成員投了反對票，另一半投了贊成票。由於 K = 0.1，每位成員預測並下注的成本爲 0.1×5²+5=7.5（因爲每位成員都非常相信自己的判斷）。創始人隨後投下了一個不必要的大額票 12，花費了 0.1×12²=14.4。投票最終通過，每位做出正確預測的成員從獎勵池中獲得了 2×5=10 的回報（這僅從貢獻回報中消耗 40 積分，基本上是對於參與投票和進行盡職調查的處理費）。
貢獻通過檢查，這 40 積分給了正確預測的成員，而 300-40=260 積分給了貢獻者，貢獻者現在可以在未來的投票中使用其積分。所有用於投票的積分 26.4+7.5×8=86.4 都返回到匹配基金中，以激勵未來的貢獻。
第 5 節 開放問題
雖然在理論上多元管理很靈活，但在不同的組織場景中它會遇到實際挑戰。它適應現代開源環境和傳統等級結構的能力引發了關於其在真實世界的有效性和實現策略的問題。本節會走進這些細微之處，邀請更深入的探索和協作研究，以應對在不同環境中應用多元管理時遇到的複雜性。
（1）在完善多元管理的二次方投票機制時，至關重要的是認識到並在戰略上解決組織內同質的社會文化羣體（如地理位置、部門、角色和來源等維度）之間可能存在的共謀問題。基於基礎研究（Miller 等人），這種方法主張採用一種精細的機制，以積極消除特定羣體的過度影響。這樣的系統不僅能提高公平性，還能促進一個真正多樣化和具有代表性的決策過程，確保組織結構內的任何單一派系都不會獲得不當的控制，從而與複雜組織結構的現實保持更緊密的一致性。
（2）我們能否擴展這種方法，在組織內部創建一個多層次的決策框架？這將涉及爲不同的組織層級（如部門或團隊）開發獨立但互聯的系統，每個系統都有自己定製的投票機制。這樣的模型可以促進更本地化和更具有相關性的決策，同時保持與更廣泛的組織目標的一致性。由於它將個體小組動態與整體組織結構相融合的潛力，這一方法值得進一步探索。
（3）雖然理性行爲者可能會因外在激勵而增強動機，但對外在激勵的過度使用可能會產生所謂的「動機擠出（Motivation Crowding）」現象，即內在驅動的貢獻者不願參與項目（Frey 和 Jegen，2000）。雖然管理積分本身並不具有貨幣性，但基於它們而去分配獎勵的決策必須在現有組織文化的背景下做出。
（4）就像與薪資相關的研究經常發現的：組織內部地位等級的透明性能夠對貢獻者行爲產生明顯影響（Cullen，2023）。雖然這可以提高員工產出，但也可能減少內部協作並可能損害組織的長期目標。鑑於其易於實施，多元管理提供了一個沙盒，來比較和對比積分的公開或私有記錄如何影響團隊內的表現。
（5）目前，爲了防止對管理積分的非正式交易，從而避免管理權威的市場化和價格化，個人不能直接將積分轉給其他成員。這有助於防止管理權威的金融化，使某些行爲變得更加困難或不可能。例如，如果一位創始人想要迅速引入新成員以增強權威，他們不能直接發送積分，而必須通過複雜的 PR 獎勵流程，由整個社區進行投票（這在一定程度上也防止了任人唯親）。此外，如果成員想要離開，他們也不能將積分迅速轉給他人，除非他們將所有積分投入匹配基金。在將直接交易積分整合進多元管理中之前，未來研究需要評估允許積分的直接交易所帶來的影響。
（6）決定何時以及如何晉升員工是組織中至關重要的問題。然而，在大型等級制度中，員工通常根據其在現有職位上的表現而不是其設定高層次優先事項的能力來晉升，這導致管理不善（Benson 等人，2018）。評估多元管理對晉升結果的影響，例如評估頂級貢獻者在管理員角色中的表現，將會有幫助。
（7）當前的多元管理設計專注於單一組織、社區或項目。許多大型組織由衆多子組織共同構成，如部門、單位或項目團隊。未來的研究可以探討使用多元管理去創建多個部分性嵌套的版本，以允許個人在子組織內行使管理權威的同時在更大的工作場所中獲得晉升。
（8）負向（Negative Voting）投票能提供有用的信號，但也有可能在羣體中引發兩極分化（Weber，2021）。這在 Gitcoin 等平臺運行的二次方資助的輪次中已有實證觀察（Buterin，2020）。在有和沒有負向投票的情況下運行多元管理的實例，可以進一步評估其對合作行爲的心理影響。
（9）在預測市場的結果可能受到參與者影響的情況下，通過共謀去操縱結果的風險就會上升（Ottaviani 和 Sørensen，2007）。因此，分析多元管理的參與者在有或沒有預測結果機會的情況下進行的投票行爲，將有助於我們理解是否應該對預測的獎勵設置進行限制。
第 6 節 結論
多元管理是一種協議，它在剛性的管理等級與扁平的去中心化組織各自的優勢特性之間架起橋樑，允許基於個人對結果和管理決策的長期貢獻去動態分配管理權威。通過調整投票 - 預測機制的折扣參數，管理員能夠獎勵社區中的新成員或積分持有量較低的成員，以激勵他們對新的貢獻進行盡職調查，確保其達到預期標準或達到具有更高權威的成員的期待。這種管理方法利用二次方資助機制，從廣泛的參與者中徵求偏好，創建了一個封閉的積分系統，該系統沒有在組織之外的貨幣價值，只能在該項目內使用。雖然這種管理協議的設計在實現選擇和對組織生產力的正向結果上存在一些開放性問題，但它可以通過標準的軟件設計實踐而被構建，並自然地融入開源項目的工作流程。總體而言，這種多元管理模型可以提供一種動態且可擴展的方法，以在任何範圍、任務或規模的項目中分配權威和獎勵參與。
