Vấn đề của bạn là một vấn đề quá trình ngẫu nhiên đơn giản, và sự thật là, nguyên nhân thực sự khiến người chơi cờ bạc thua sạch không nhất thiết là do xác suất thắng quá thấp, mà rất có thể là vì số vốn của họ quá ít và họ tiếp tục cược, vì vậy chỉ cần tiền của bạn không đủ nhiều, bạn theo người chơi cờ bạc để cược ngược cũng sẽ thua sạch.
Chẳng hạn, một người chơi cờ bạc có xác suất thắng và thua đều là 50%, nhưng ông ta bắt đầu với số vốn khá ít, trong khi tiền của sòng bạc đối với ông ta gần như vô hạn, nên đối với người chơi cờ bạc này, chỉ cần ông ta tiếp tục cá cược, kết quả cuối cùng gần như chắc chắn sẽ thua sạch: và nếu tiền của bạn không đủ nhiều, thì dù bạn theo người chơi cờ bạc đó để đặt cược ngược, xác suất thắng của bạn cũng chỉ là 50%, thực ra lúc này bạn cũng chỉ là một người chơi cờ bạc khác thôi, kết quả cuối cùng của bạn là bạn sẽ hoặc thua sạch trước khi người chơi cờ bạc đó thua sạch, hoặc bạn không thua sạch trước khi người chơi cờ bạc đó thua sạch, sau đó bạn tiếp tục đặt cược ngược vào người chơi cờ bạc tiếp theo và thua sạch.
Nói cách khác, chỉ cần trò chơi cờ bạc tiếp tục cho đến khi một bên thua sạch, thì việc quyết định ai cuối cùng thua sạch, ai cuối cùng thắng sẽ không chỉ phụ thuộc vào xác suất thắng, mà còn phụ thuộc rất nhiều vào số vốn. Ngay cả khi xác suất thắng của bạn và đối phương là 50-50, chỉ cần đối phương có tiền vô hạn, thì người thua chắc chắn là bạn.
Làm thế nào để hiểu vấn đề toán học này? Chúng ta xem xét một mô hình toán học đơn giản, giả sử có một người chơi cờ bạc, ông ta bắt đầu với 100 đồng, mỗi lần cược 10 đồng, và xác suất thắng thua mỗi lần là 50%, thắng thì có 20 đồng, thua thì mất 10 đồng.
Quá trình này thực chất là một quá trình đi bộ ngẫu nhiên, có thể được đơn giản hóa thành việc bạn bắt đầu ở vị trí 0 trên trục tọa độ một chiều, chỉ có thể đi sang trái hoặc phải, mỗi lần đi, bạn sẽ tung đồng xu ngẫu nhiên, xuất hiện mặt ngửa thì đi một bước sang phải, xuất hiện mặt sấp thì đi một bước sang trái, như vậy sẽ có 50% xác suất đi sang trái và 50% xác suất đi sang phải, đến điểm -10 thì tính là thua sạch.
Tiếp theo, tôi sẽ giải thích bằng một cách đơn giản hơn: nếu bạn kiên trì đi mãi, thì xác suất đến vị trí -10 là 1; tức là, nếu tiền ở phía đối diện là vô hạn, và người chơi cờ bạc liên tục đánh cược, thì xác suất thua sạch sẽ là 1, tức là a.s. thua sạch.
Trước tiên, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh rằng: từ bất kỳ vị trí nào x xuất phát, chắc chắn tồn tại một số tự nhiên k, sao cho khi bạn đi hơn k bước, xác suất đã qua điểm -10 trong lộ trình lớn hơn 40%.
Tại sao phát biểu này là đúng? Bởi vì:
Giả sử chúng ta bắt đầu từ vị trí 0, thì
1: Trong trò chơi này, chúng ta chỉ có thể đi từng bước một, không thể nhảy, do đó, chỉ cần bạn đi đến bất kỳ điểm nào bên trái -10, điều đó có nghĩa là bạn chắc chắn đã đi qua điểm -10 ít nhất một lần. Điều này có nghĩa là, nếu số lần mặt ngửa nhiều hơn mặt sấp trên 10 lần, thì chắc chắn bạn ở bên trái -10, vì không thể nhảy, điều này chắc chắn có nghĩa là bạn đã đi qua điểm -10.
2: Đây là một trò chơi quyết định hướng đi của bạn bằng cách tung đồng xu, xác suất số lần mặt ngửa nhiều hơn hoặc bằng số lần mặt sấp chắc chắn là 50%.
3: Nếu chúng ta tung đồng xu đến vô hạn, thì xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa đúng 1 lần chắc chắn sẽ có xu hướng gần bằng 0, vì sự tăng trưởng của tổ hợp nhỏ hơn hàm số mũ 2.
4: Tương tự, chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng với số lần tung đồng xu tăng lên, xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa đúng 2 lần, 3 lần... đến 9 lần đều có xu hướng gần bằng 0.
5: Xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa trên 10 lần chắc chắn bằng 1 trừ đi xác suất số lần mặt ngửa nhiều hơn hoặc bằng số lần mặt sấp, sau đó trừ đi xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa từ 1 đến 9 lần. Do đó, khi số lần tung đồng xu tăng lên, xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa trên 10 lần chắc chắn sẽ có xu hướng đạt 50%.
6: Vì xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa trên 10 lần sẽ có xu hướng đạt 50% khi số lần tung đồng xu tăng lên, nên khi số lần tung đồng xu đủ lớn, xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa 10 lần chắc chắn sẽ lớn hơn 40%.
7: Một khi số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa trên 10 lần, thì bạn chắc chắn đã đi qua điểm -10. Do đó, từ bất kỳ vị trí nào x xuất phát, chắc chắn tồn tại một số tự nhiên k, sao cho khi bạn đi k bước, xác suất đã qua điểm -10 lớn hơn 40%.
Tương tự, giả sử chúng ta xuất phát từ +1, xác suất số lần mặt sấp nhiều hơn mặt ngửa trên 11 lần cũng sẽ có xu hướng đạt 50% khi số lần tung đồng xu tăng lên. Giả sử chúng ta xuất phát từ +2, xác suất này trên 12 lần cũng chắc chắn sẽ có xu hướng đạt 50%... Tương tự, từ bất kỳ điểm nào xuất phát, nếu cứ tiếp tục đi, xác suất đến điểm -10 chắc chắn sẽ có xu hướng đạt 50%.
Do đó, từ bất kỳ vị trí nào x xuất phát, chắc chắn tồn tại một số tự nhiên k, sao cho khi bạn đi hơn k bước, xác suất đã qua điểm -10 trong lộ trình lớn hơn 40%, chúng ta có thể viết k như là một hàm của x là k(x).
Tiếp theo, chúng ta có thể chứng minh rằng, từ 0 (hoặc bất kỳ vị trí dương nào cũng được) xuất phát, nếu đi mãi, xác suất đến điểm -10 sẽ là 1.
Rõ ràng từ vị trí 0, sau khi đi k (0) bước, xác suất đã qua điểm -10 lớn hơn hoặc bằng 40%. Giả sử sau khi đi k (0) bước mà không đến điểm -10, thì xác suất này nhỏ hơn 60%. Giả sử sau khi đi k (0) bước, dừng lại tại một điểm nào đó x1 bên phải -10, thì từ x1 xuất phát và đi tiếp k (x1) bước, xác suất đã qua điểm -10 chắc chắn lại là trên 40%, giả sử lại không đạt đến điểm -10, mà dừng lại tại điểm x2 bên phải -10, thì chúng ta lại tiếp tục đi thêm k (x2) bước, chắc chắn lại sẽ có xác suất trên 40% đã qua điểm -10...
Tương tự, xác suất không thể đến điểm -10 khi đi mãi chắc chắn nhỏ hơn hoặc bằng (1-40%)(1-40%)(1-40%)..., do đó xác suất không thể đến điểm -10 khi đi mãi sẽ bằng 0.
Do đó, nếu đi mãi, xác suất đến điểm -10 chắc chắn sẽ là 1.
Chúng ta biết rằng khác với việc đi bộ một chút, người chơi cờ bạc thua sạch tiền sẽ không thể tiếp tục cược, trong khi chúng ta đã chứng minh rằng nếu đi mãi, xác suất đến điểm -10 là 1, nên nếu sòng bạc có số tiền gần như vô hạn so với người chơi cờ bạc, thì xác suất người chơi cờ bạc thua sạch chắc chắn sẽ gần bằng 1.
Điều này chứng minh rằng, ngay cả khi người chơi cờ bạc có xác suất thắng thua là 50-50, họ cũng sẽ thua sạch, và nếu bạn tìm một người chơi cờ bạc có xác suất thắng thua 50-50, thì bạn cược ngược cũng không có bất kỳ lợi thế nào về xác suất, vì vậy cược ngược bạn cũng chắc chắn sẽ là 50-50. Số vốn của bạn không bằng sòng bạc, nên cứ tiếp tục chơi như vậy, kết quả cũng chỉ có thể là khả năng lớn là thua sạch.