Ваш вопрос является простой задачей случайного процесса, и правда в том, что причина, по которой азартные игроки теряют все, вовсе не обязательно в том, что их шансы на выигрыш слишком низки, а в значительной степени может быть связана с тем, что у них слишком мало капитала и они продолжают играть, поэтому, если у вас недостаточно денег, даже если вы играете против азартного игрока, вы также потеряете все.
Например, азартный игрок имеет 50% шансов на выигрыш и проигрыш, но его начальный капитал довольно мал, в то время как деньги казино по сравнению с ним почти бесконечны, поэтому для этого азартного игрока, если он будет продолжать играть, конечный результат почти обязательно будет проигрышем: а если у вас недостаточно денег, даже следуя за этим азартным игроком, ваш шанс на выигрыш будет всего 50%, на самом деле вы в это время просто другой азартный игрок, и ваш конечный результат либо вы проиграете все свои деньги до того, как этот азартный игрок проиграет все, либо не проиграете до того, как этот азартный игрок проиграет все, а затем проиграете, продолжая ставить против следующего азартного игрока.
Другими словами, если азартная игра продолжается до тех пор, пока одна сторона не проиграет все свои деньги, то решающим фактором, кто в конечном итоге проиграет, а кто выиграет, будет не только шанс на выигрыш, но и в значительной степени зависит от размера капитала. Даже если у вас шансы на выигрыш 50 на 50 против другой стороны, если у другой стороны денег бесконечно много, то в конечном итоге непременно проиграете вы.
Как понять эту математическую задачу? Мы рассматриваем простую математическую модель, предположим, что есть азартный игрок, который изначально имеет 100 единиц, ставит по 10 единиц каждый раз, и вероятность выигрыша или проигрыша всегда составляет 50%, выиграв 10 единиц, он становится 20, проиграв 10 единиц, остается без денег.
Этот процесс на самом деле является процессом случайного блуждания, его можно упростить до того, что в начале вы находитесь на нулевой позиции в одномерной координатной оси и можете двигаться только влево и вправо, каждый раз, когда вы идете, вы бросаете монету, если выпадает орел, вы делаете шаг вправо, если решка, вы идете влево, так что у вас 50% шансов пойти влево и 50% шансов пойти вправо, дойдя до -10, вы считаете, что проиграли.
Теперь я объясню это довольно простым и прямым способом: если продолжать идти, то вероятность достижения точки -10 равна 1; другими словами, если деньги на другой стороне бесконечны, и азартный игрок продолжает играть, то вероятность потерять все свои деньги равна 1, то есть a.s. потерять все.
Во-первых, мы можем легко доказать, что начиная с любой позиции x, обязательно существует натуральное число k, такое что после более чем k шагов вероятность пройти через точку -10 будет больше 40%.
Почему это утверждение верно? Потому что:
Предположим, что мы начинаем с нуля, тогда
1: В нашей игре мы можем делать только один шаг за раз, нельзя прыгать, поэтому, если вы достигли любой точки слева от -10, это означает, что вы непременно проходили через точку -10 хотя бы один раз. Это означает, что если количество обратных сторон больше количества лиц более чем на 10 раз, то вы непременно находитесь слева от -10, и поскольку нельзя прыгать, это непременно означает, что вы проходили через точку -10.
2: Это игра, в которой бросок монеты определяет направление движения, вероятность того, что количество лиц будет больше или равно количеству обратных сторон, определенно равна 50%.
3: Если мы будем бросать монету бесконечно много раз, то вероятность того, что количество обратных сторон будет ровно на 1 больше, чем количество лиц, обязательно будет стремиться к нулю, потому что рост комбинаций медленнее, чем экспоненциальная функция 2.
4: Аналогично, можно легко доказать, что с увеличением количества бросков монеты вероятность того, что количество обратных сторон будет ровно на 2, 3 ... 9 раз больше количества лиц, стремится к нулю.
5: Вероятность того, что количество обратных сторон превышает количество лиц более чем на 10 раз, обязательно равна 1 минус вероятность того, что количество лиц больше или равно количеству обратных сторон, минус вероятность того, что количество обратных сторон ровно на 1 до 9 раз больше количества лиц. Таким образом, с увеличением количества бросков монеты вероятность того, что количество обратных сторон будет больше количества лиц более чем на 10 раз, обязательно стремится к 50%.
6: Поскольку вероятность количества обратных сторон, превышающего количество лиц более чем на 10 раз, будет стремиться к 50% с увеличением количества бросков монеты, то с увеличением количества бросков до достаточно большого числа вероятность того, что количество обратных сторон будет превышать количество лиц на 10 раз, обязательно будет больше 40%.
7: Как только количество обратных сторон превышает количество лиц более чем на 10 раз, вы непременно проходили через точку -10. Таким образом, начиная с любой позиции x, обязательно существует натуральное число k, такое что после k шагов вероятность пройти через точку -10 будет больше 40%.
Аналогично, предположим, что мы начинаем с +1, вероятность того, что количество обратных сторон превышает количество лиц более чем на 11 раз, также будет стремиться к 50% с увеличением количества бросков монеты. Предположим, что мы начинаем с +2, вероятность превышения на более чем 12 раз также обязательно будет стремиться к 50% ... и так далее, начиная с любой точки, продолжая идти, вероятность достижения -10 обязательно будет стремиться к 50%.
Таким образом, начиная с любой позиции x, обязательно существует натуральное число k, такое что после более чем k шагов вероятность пройти через точку -10 будет больше 40%, мы можем записать k как функцию x, k(x).
Затем мы можем доказать, что начиная с 0 (или любой положительной позиции), бесконечно идти, вероятность достижения -10 равна 1.
Очевидно, что начиная с нуля, после k(0) шагов вероятность достижения точки -10 будет больше или равна 40%. Предположим, что после k(0) шагов мы не достигли точки -10, тогда эта вероятность будет меньше 60%. Предположим, что после k(0) шагов мы остановились на каком-то пункте x1 справа от -10, тогда, начиная из x1 и сделав еще k(x1) шагов, вероятность достижения точки -10 будет непременно больше 40%, предположим, что мы опять не достигли точки -10, а остановились на точке x2 справа от -10, тогда мы продолжаем идти еще k(x2) шагов, и вероятность снова будет больше 40% ...
Аналогично, вероятность того, что бесконечно идти и не достичь -10, обязательно будет меньше или равна (1-40%)(1-40%)(1-40%)···, поэтому вероятность бесконечно идти и не достичь -10 будет равна нулю.
Таким образом, если продолжать идти бесконечно, вероятность достижения точки -10 обязательно равна 1.
Мы знаем, что в отличие от движения, азартный игрок, проиграв все деньги, не может продолжать играть, и мы также доказали, что вероятность бесконечно идти и достичь -10 равна 1, поэтому если у казино есть деньги, которые для азартного игрока почти бесконечны, то вероятность того, что азартный игрок проиграет все, обязательно будет близка к 1.
Это доказывает, что даже если шансы азартного игрока на выигрыш 50 на 50, он все равно проиграет, а если вы находите азартного игрока с шансами 50 на 50, то ваша игра против него не даст вам никакого преимущества в шансах на выигрыш, и ваша игра против него тоже обязательно будет 50 на 50. Ваш капитал не так велик, как у казино, поэтому если вы продолжаете играть, конечный результат будет, скорее всего, проигрышем.
