Problema ta este o problemă simplă de proces aleatoriu, iar adevărul este că motivul pentru care jucătorii pierd totul nu este neapărat că au șansele prea mici, ci este foarte probabil din cauza că au prea puțini bani și continuă să joace; așa că, atâta timp cât banii tăi nu sunt suficienți, chiar dacă pariezi împotriva unui jucător, vei pierde tot.
De exemplu, un jucător are o probabilitate de 50% de a câștiga sau pierde, dar capitalul său inițial este relativ mic, iar banii casei sunt practic nelimitați în comparație cu el; prin urmare, pentru acest jucător, atâta timp cât continuă să parieze, rezultatul va fi că va pierde aproape cu siguranță totul: iar dacă banii tăi nu sunt suficienți, chiar dacă pariezi împotriva acestui jucător, șansele tale de câștig vor fi de doar 50%, de fapt, ești doar un alt jucător, iar rezultatul tău final va fi fie că pierzi înainte ca acest jucător să piardă totul, fie că nu pierzi până când acest jucător pierde totul și apoi pierzi pariem împotriva altui jucător.
Cu alte cuvinte, atâta timp cât jocurile de noroc continuă până când o parte pierde totul, atunci decizia cu privire la cine pierde și cine câștigă nu depinde doar de șansele de câștig, ci depinde în mare măsură și de suma de bani. Chiar dacă șansele tale de câștig sunt de 50-50 cu cealaltă parte, atâta timp cât cealaltă parte are bani nelimitați, atunci cel care va pierde cu siguranță vei fi tu.
Cum să înțelegem această problemă matematică? Examinăm un model matematic simplu, presupunând că există un jucător care la început are 100 de unități, pariază 10 unități de fiecare dată, iar probabilitatea de a câștiga sau pierde este de 50%; câștigând 10 unități devine 20, iar pierzând 10 unități rămâne fără nimic.
Acest proces este de fapt un proces de mers aleatoriu, care poate fi simplificat la faptul că la început ești la poziția 0 pe axa coordonatelor unidimensionale, poți merge doar în stânga sau în dreapta, iar de fiecare dată când mergi, arunci o monedă; dacă apare fața, mergi un pas la dreapta, iar dacă apare partea, mergi un pas la stânga; astfel, ai 50% probabilitate să mergi în stânga și 50% probabilitate să mergi în dreapta, ajungând la -10 înseamnă că ai pierdut.
Următorul lucru pe care îl voi explica este un mod destul de simplu și direct: dacă continui să mergi, atunci probabilitatea de a ajunge la -10 este 1; adică, dacă banii de pe cealaltă parte sunt nelimitați, iar jucătorul continuă să joace, atunci probabilitatea de a pierde totul este 1, adică a.s. pierzi totul.
În primul rând, putem dovedi cu ușurință: pornind de la orice poziție x, există un număr natural k, astfel încât, după ce ai făcut mai mult de k pași, probabilitatea de a fi trecut pe la -10 este mai mare de 40%.
De ce această teoremă este corectă? Pentru că:
Presupunem că pornim de la 0, atunci
1: În acest joc, putem face doar un pas de fiecare dată, nu putem sări, așa că, dacă ajungi la oricare punct la stânga lui -10, asta înseamnă că ai trecut cu siguranță pe la -10 cel puțin o dată. Asta înseamnă că, dacă numărul de fețe este cu 10 mai mare decât numărul de pile, atunci trebuie să însemne că ești la stânga lui -10; din moment ce nu putem sări, aceasta înseamnă că ai ajuns pe la -10.
2: Acesta este un joc în care aruncarea unei monede determină direcția de mers, iar probabilitatea ca numărul de fețe să fie mai mare sau egal cu numărul de pile este cu siguranță 50%.
3: Dacă aruncăm moneda de un număr infinit de ori, atunci probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu exact o unitate mai mult decât numărul de pile va tinde cu siguranță către zero, deoarece creșterea combinațiilor este mai lentă decât funcția exponențială de 2.
4: În mod similar, putem obține cu ușurință că, pe măsură ce numărul de aruncări de monede crește, probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu exact 2, 3... până la 9 mai mult decât numărul de pile se apropie de zero.
5: Probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu 10 mai mare decât numărul de pile este cu siguranță egală cu 1 minus probabilitatea ca numărul de fețe să fie mai mare sau egal cu numărul de pile, minus probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu exact 1 până la 9 mai mult decât numărul de pile. Prin urmare, pe măsură ce numărul de aruncări de monede crește, probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu 10 mai mare decât numărul de pile se va apropia cu siguranță de 50%.
6: Deoarece probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu 10 mai mare decât numărul de pile va tinde către 50% pe măsură ce numărul de aruncări de monede crește, atunci, pe măsură ce numărul de aruncări de monede crește suficient, probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu 10 mai mare va fi cu siguranță mai mare de 40%.
7: Odată ce numărul de fețe este cu 10 mai mare decât numărul de pile, atunci trebuie să fi trecut pe la -10. Prin urmare, pornind de la orice poziție x, există un număr natural k, astfel încât, după ce faci k pași, probabilitatea de a fi trecut pe la -10 este mai mare de 40%.
În mod similar, presupunând că pornim de la +1, probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu 11 mai mare decât numărul de pile va tinde, de asemenea, către 50% pe măsură ce numărul de aruncări de monede crește. Presupunând că pornim de la +2, probabilitatea ca numărul de fețe să fie cu 12 mai mare va tinde, de asemenea, către 50%... continuând astfel, pornind de la orice punct, continuând să mergem, probabilitatea de a ajunge la -10 va tinde cu siguranță către 50%.
Prin urmare, pornind de la orice poziție x, există un număr natural k, astfel încât, după ce ai făcut mai mult de k pași, probabilitatea de a fi trecut pe la -10 pe parcursul căii este mai mare de 40%; putem scrie k ca o funcție a lui x, k(x).
Așadar, putem dovedi că, pornind de la 0 (sau orice poziție pozitivă), continuând să mergem, probabilitatea de a ajunge la -10 este 1.
Este evident că, pornind de la 0, după ce facem k(0) pași, probabilitatea de a fi trecut pe la -10 este mai mare sau egală cu 40%. Presupunând că, după k(0) pași, nu am trecut pe la -10, atunci această probabilitate este mai mică de 60%. Presupunând că, după k(0) pași, ne-am oprit la un anumit punct x1, la dreapta lui -10, atunci, pornind de la x1 și făcând k(x1) pași, probabilitatea de a fi trecut pe la -10 va fi cu siguranță de peste 40%. Presupunând din nou că nu am ajuns pe la -10, ci ne-am oprit la punctul x2, la dreapta lui -10, atunci vom continua să facem k(x2) pași, având din nou o probabilitate de peste 40% de a fi trecut pe la -10...
Prin urmare, continuând să mergi, probabilitatea de a nu ajunge la -10 este cu siguranță mai mică sau egală cu (1-40%)(1-40%)(1-40%)..., astfel că probabilitatea de a nu ajunge la -10 este zero.
Prin urmare, continuând să mergem, probabilitatea de a ajunge la -10 este cu siguranță 1.
Știm că, spre deosebire de mers, jucătorul care a pierdut totul nu mai poate continua să joace, iar am demonstrat că probabilitatea de a continua să mergi până la -10 este 1; deci, dacă casa are o sumă de bani aproape nelimitată în comparație cu jucătorul, atunci probabilitatea ca jucătorul să piardă totul va fi cu siguranță aproape de 1.
Aceasta dovedește că, chiar dacă șansele de câștig ale jucătorului sunt de 50-50, el va pierde totul; iar dacă ai găsit un jucător cu șanse de câștig de 50-50, atunci parierea împotriva lui nu îți va oferi niciun avantaj în ceea ce privește șansele de câștig; astfel, pariind împotriva lui, șansele tale de câștig vor fi cu siguranță tot de 50-50. Capitalul tău nu este la fel de mare ca al casei, așa că, continuând să joci, rezultatul nu poate fi decât o pierdere mare.
