“Empregamos a teoria estabelecida de precificação de derivativos TradFi para derivar uma estratégia de criação de mercado automatizada de AMM. Este artigo explora as raízes históricas da tecnologia e mostra como a aplicamos à formação de mercado. Com o mecanismo de precificação resultante, se o AMM permanecer equilibrado, os comerciantes o farão. enfrentarão uma derrapagem menor. Se o AMM estiver exposto ao risco, a derrapagem aumentará e os traders serão incentivados a cobrir sua exposição líquida ao AMM.”
O modelo de precificação de títulos de Merton (Merton, 1974) pressupõe que a empresa possui um determinado montante de dívida com vencimento T. Se o valor dos ativos da empresa no momento T for inferior ao valor nominal da sua dívida, a empresa entrará em incumprimento. Neste modelo, o capital próprio da empresa é uma opção de compra europeia sobre os activos da empresa com um preço de exercício igual ao valor nominal da dívida. Este modelo pode ser utilizado para estimar a probabilidade de incumprimento da empresa, tal como o modelo KMV Merton comercializado pela Moody’s Company [Bharat, Shumway, 2008], e também pode ser utilizado para precificar a dívida de risco de crédito da empresa [Moody’s, 2022].
Seguindo a literatura publicada por Merton em 1974, surgiram outros modelos de risco de inadimplência. No modelo [Black, Cox, 1976], uma empresa também pode entrar em incumprimento antes do vencimento T, enquanto o limiar de incumprimento que foi fixado na abordagem de Merton é agora dinâmico. Especialmente com o aumento dos derivados de crédito no final da década de 1990, os modelos que abstraem o balanço de uma empresa (chamados modelos simplificados) começaram a atrair a atenção. Para obter detalhes sobre o modelo estrutural e o modelo simplificado, consulte o Apêndice A.
Tanto os modelos estruturais como os modelos simplificados são métodos eficazes para simular o risco de incumprimento e precificar o crédito. Ambos os modelos podem ser calibrados a partir de dados históricos e, às vezes, são combinados em uma forma “híbrida”. Quando estes modelos são utilizados para a fixação de preços, todos seguem o princípio da avaliação neutra ao risco.
avaliação neutra ao risco
Simplificando, este princípio afirma que o valor de um ativo é igual ao valor dos fluxos de caixa descontados esperados. O valor esperado não é calculado utilizando probabilidades do mundo real, mas sim probabilidades construídas extraídas de preços de outros ativos. Muito mais poderia ser dito sobre este método de avaliação, mas para efeitos deste artigo, o principal é saber que este é o método de precificação de derivados, como opções de compra e venda europeias, CDS ou produtos estruturados. Para os analistas quantitativos com quem trabalhamos na D8X, [Björk, 2009] é uma boa referência para avaliações neutras ao risco.
AMM perpétuo enfrenta riscos de mercado
Os formadores de mercado automatizados (AMMs) são alternativas DeFi para os mercados de livros de pedidos. Os AMMs usam fórmulas para determinar o preço de uma determinada negociação, em vez de combinar ordens de limite e de mercado em um sistema baseado em livro de pedidos.
Suponha que haja apenas um trader com compra de 1 ETH no contrato perpétuo (ver, por exemplo, [Deribit 2022] para uma explicação sobre contratos perpétuos). Se o preço do ETH aumentar 20%, o AMM deverá ao trader uma parte do ganho. Da mesma forma, se o preço cair 20%, o AMM reduzirá a margem do trader no valor da perda. Em suma, os AMMs estão expostos a riscos de mercado.
Se houver outro trader que opere vendido 1 ETH e o preço suba 20%, o trader vendido perde 20% e o trader comprado ganha 20%, e vice-versa se o preço cair 20%. Neste exemplo, o AMM tem compensação zero de risco de mercado: não importa como o preço se mova, o AMM não gerará perdas ou ganhos.
Em resumo, para AMMs, é melhor ter exposição líquida zero. A rigor, “zero” só se aplica a contratos lineares perpétuos. Neste artigo, nos concentramos em contratos perpétuos lineares, onde a garantia está na moeda cotada mantida (por exemplo, para o contrato perpétuo ETH-USDC, a garantia é USDC).
AMM como seguradora
Para determinar o preço do contrato perpétuo D8X, assumimos que os traders celebram o contrato ao preço à vista e, se aumentarem a sua exposição à AMM, também adquirem seguro de crédito à AMM. O seguro de crédito visa garantir que, quando um trader fecha uma posição, o valor estipulado no contrato seja pago ao trader. Se os traders reduzirem a sua exposição ao AMM, receberão um reembolso. Se o AMM não tiver fundos quando um trader quiser liquidar, o valor a pagar deverá ser pago a partir de um fundo padrão (ou seja, reservas de capital adicionais). O acordo com a AMM inclui, portanto, também o possível acesso a fundos de seguros. Dependendo do status do AMM, o prêmio do seguro é mais alto ou, como veremos, os traders recebem o prêmio reembolsado se reduzirem sua exposição ao AMM.
Mergulho profundo: modelo estrutural de futuros perpétuos AMM
Como precificamos esse seguro de crédito? Semelhante ao modelo de precificação de títulos de Merton, assumimos um horizonte de tempo fixo T. Para explicar este conceito, primeiro assumimos que o AMM tem apenas um trader e um M maiúsculo expresso na moeda de cotação (por exemplo, USDC). O trader entra em uma posição (assinada) de tamanho κ ao preço do índice s. O lucro do trader no final do período fixo é
onde s é o preço de entrada, s⋅exp(rmber) é o preço de saída e rmber é o retorno logarítmico. Agora, o valor de um prémio de seguro é o seu valor descontado esperado sob uma medida de probabilidade neutra ao risco. Supondo que a taxa de juro sem risco seja zero e o prazo de desconto desapareça, o valor esperado é o seguinte:
onde M é o capital AMM, excluindo o capital do fundo de inadimplência. Para se ter uma compreensão intuitiva deste termo, a primeira coisa a notar é que se o capital M da AMM for suficientemente grande, é muito provável que o capital seja recuperado e o valor do seguro seja baixo (neste caso, o primeiro termo da função max é para r. A maioria das implementações de são negativas, então o valor da função max é 0). Em segundo lugar, se M for 0, o valor do seguro corresponde ao lucro esperado do comerciante (uma vez que o seguro cobre todos os lucros). Finalmente, se M for relativamente pequeno, parte do lucro do comerciante pode ser paga com capital AMM, e parte do lucro deve ser paga por seguros. Através desta explicação da hipótese, deveríamos ter uma compreensão intuitiva da fórmula (2).
Para o retorno lognormal, a avaliação e análise podem ser realizadas através da fórmula (2) Se a garantia M for a moeda de cotação ou a moeda base (por exemplo, o contrato perpétuo ETH-USD é ETH ou USD). Se a garantia for uma terceira moeda (tomando como exemplo o contrato perpétuo ETH-USD, é BTC), não existe forma fechada e o valor esperado precisa ser calculado através do método de Monte Carlo. Para obter detalhes sobre esta aproximação, consulte o Apêndice B do white paper [Maire, Hernandez, 2022].
Em resumo, a fórmula (2) dá-nos o prémio de seguro que a AMM gostaria de cobrar aos traders para manter o fundo de incumprimento da AMM.
Como a fórmula de precificação precisa ser implementada no blockchain, simplificaremos o prêmio do seguro na próxima seção.
Método de estimativa do banqueiro
O setor bancário estima as perdas de crédito esperadas como PD EAD LGD, ver [BIS 2005] para detalhes, onde PD é a probabilidade de inadimplência, EAD é a exposição na inadimplência (valor em termos monetários) e LGD é a perda após a inadimplência (uma termo relativo). Ou seja, este método não estima conjuntamente as perdas esperadas como os métodos mencionados acima, mas assume que a perda dada a inadimplência, a exposição à inadimplência e a probabilidade de inadimplência são independentes. Esta abordagem também é utilizada para preços de crédito, ver [Moody’s 2022] para mais detalhes.
Seguindo esta linha de pensamento, assumimos que a perda do dólar (EAD * LGD) é igual ao valor da posição inicial |κ|s. Agora, o prêmio do seguro passa a ser
O valor esperado de 1_θ é a probabilidade de inadimplência, que definimos como q. O indicador padrão é 0 quando o AMM não entra em default e é 1 quando entra em default:
Portanto, nosso prêmio de seguro, equação (2), agora é simplificado para o valor da posição multiplicado pela probabilidade de inadimplência neutra ao risco, q. O valor q corresponde ao valor da opção digital. No Apêndice B, fornecemos uma explicação intuitiva de por que esta é uma suposição conservadora para AMM. Na verdade, é conservador desde que a probabilidade de o preço pelo menos duplicar num período seja baixa.
Estimamos o prêmio do seguro multiplicando o valor da opção digital pelo tamanho da negociação |κ|s. Isso leva a uma solução de formato fechado que podemos implementar na cadeia.
O valor q de uma opção digital pode ser calculado analiticamente para todos os tipos de garantia M (moeda base, cotação ou moeda dupla), para que possamos implementar esta abordagem inteiramente em cadeia. A Figura 1 compara a aproximação do prêmio de seguro com a perda esperada dividida por κs dada pela Eq.
À medida que κs/M cresce, a aproximação da opção digital superestima o prêmio do seguro. Isto é útil porque se houver capital suficiente (o rácio κs/M é baixo), estamos a subvalorizar o risco e, à medida que o capital diminui em relação à exposição do trader, começamos a sobrevalorizar o risco. Os preços, portanto, desincentivam os traders de submeter as AMMs a riscos excessivos e incentivam a entrada da negociação oposta, uma vez que os descontos são igualmente sobrevalorizados (e, portanto, benéficos para os traders), como detalhamos na próxima secção.
Incentivos ao comerciante
Incorporamos o prêmio q(κ) no preço p da seguinte forma:
Dentre eles, se o parâmetro de sgn(.) for positivo, o resultado do cálculo é 1, caso contrário o resultado do cálculo é -1, e κ é o tamanho da transação que minimiza o risco AMM. Isto significa que, por exemplo, se você for um trader vendido e κ for negativo, você pode entrar em uma negociação vendida acima do preço à vista s para que possa lucrar quando o preço convergir para a posição spot, inversamente, um trader longo entra acima do preço à vista; , Isso é caro em comparação com a negociação à vista.
Como podemos ver na Figura 1, para valores mais baixos do tamanho do comércio per capita (κs/M), a aproximação (“opção digital”) permanece próxima do valor segurado exato e será maior se o AMM estiver exposto a maiores risco Estimar prêmios de seguro. Este prémio é cobrado aos traders que aumentam o risco e devolvido aos traders que reduzem o risco. Portanto, os traders têm um incentivo para reduzir a exposição líquida do AMM ao ponto mais baixo κ-κ*. Em κ-κ*, o AMM apresenta o menor risco de mercado.
para concluir
Propomos um novo AMM de contrato perpétuo baseado na teoria de precificação de derivativos. A nossa abordagem pressupõe que os traders adquiram seguro de crédito para garantir que as suas posições são pagas no final do contrato. Nossa abordagem é conservadora porque estimamos a probabilidade de inadimplência neutra ao risco, em vez de estimarmos conjuntamente a perda esperada. Nossa abordagem pode ser implementada inteiramente em cadeia, o que leva a uma solução de formato fechado.
Este é um artigo técnico, mas esperamos que forneça uma perspectiva interessante para aqueles interessados em DeFi e engenharia financeira. Acreditamos que, ao combinar as melhores práticas das finanças tradicionais com a tecnologia blockchain, podemos fornecer melhores produtos e serviços à comunidade DeFi.
Informações originais em inglês: https://medium.com/@d8x.exchange/applying-derivative-pricing-theory-to-automated-market-making-for-perpetual-futures-aba831c80ad1