この問題は単純なランダムプロセスの問題です。そして真実は、ギャンブラーが全てを失う理由は彼らの勝率が低いためではなく、むしろ彼らの資金が少なくてずっと賭け続けているからである可能性が高いことです。したがって、あなたのお金が十分でない限り、ギャンブラーに逆に賭けても全てを失うことになります。
例えば、ギャンブラーの勝ちと負けの確率が50%であるとしますが、彼の初めの資金が少なく、カジノのお金は彼に対してほぼ無限である場合、そのギャンブラーはずっと賭け続ける限り、最終的に結末はほぼ確実に全てを失うことになります。そして、あなたのお金が十分でなければ、たとえそのギャンブラーに逆に賭けても、勝率は50%に過ぎず、あなたは結局もう一人のギャンブラーに過ぎません。最終的な結末は、ギャンブラーが全てのお金を失う前にあなたが全てを失うか、ギャンブラーが全てを失う前に失わずに次のギャンブラーに逆に賭けて全てを失うかのいずれかです。
言い換えれば、賭けが一方が全てを失うまで続く限り、誰が最終的に全てを失うか、誰が最終的に勝つかは勝率だけではなく、資金の量にも大きく依存します。たとえあなたの勝率が対面と五分五分でも、対面に無限のお金があれば、最終的に失うのはあなたです。
この数学の問題をどのように理解すればよいのでしょうか？私たちは単純な数学モデルを考察します。仮にギャンブラーが100ドルを持っていて、毎回10ドルを賭け、勝つ確率が50%であれば、勝てば10ドル増えて20ドル、負ければ10ドル失えばなくなります。
このプロセスは実際にはランダムウォークプロセスであり、最初にあなたが1次元の座標軸0の位置にいて、左右にしか進めず、毎回進むときにコインを投げ、表が出れば右に1歩、裏が出れば左に1歩進むという形で、左に進む確率は50%、右に進む確率も50%です。-10点に到達すれば全てを失います。
次に、比較的簡単で明確な方法で説明します：もしずっと歩き続けるなら、-10の位置に到達する確率は1です。つまり、対面のお金が無限にあり、ギャンブラーが止まらずに賭け続けるなら、全てを失う確率は1、つまりほぼ確実に全てを失うことになります。
まず、私たちは簡単に証明できます：任意の位置xから出発すると、必ず自然数kが存在し、k歩以上進んだ後の経路で-10点に到達した確率は40%以上です。
なぜこの命題が正しいのか？それは：
仮に私たちが0から出発するとしましょう。
1:このゲームは毎回1歩しか進むことができず、ジャンプすることができません。したがって、-10の左側の任意の点に到達すれば、必ず少なくとも1回は-10点に到達したことになります。つまり、裏面の回数が表面の回数より10回以上多ければ、必然的に-10点の左側にいることが意味されます。ジャンプできないため、これは必然的に-10点に到達したことを意味します。
2:これはコインを投げて歩く方向を決めるゲームであり、表面の数が裏面の数以上である確率は必ず50%です。
3:無限回コインを投げるなら、裏面の数が表面の数よりちょうど1回多くなる確率は必ずゼロに近づきます。なぜなら、組み合わせ数の増加は2の指数関数より遅いからです。
4:同様にコインを投げる回数が増えるにつれて、裏面の数が表面の数より2回、3回、...9回多くなる確率はすべてゼロに近づきます。
5:裏面の数が表面より10回以上多くなる確率は必然的に、表面の数が裏面の数以上である確率を1から引き、裏面の数が表面よりちょうど1回から9回多い確率を引いたものに等しいです。したがって、コインを投げる数が増えるにつれて、裏面が表面より10回以上多くなる確率は必然的に50%に近づきます。
6:裏面が表面より10回以上多くなる確率は、コインを投げる数が増えるにつれて50%に近づきます。したがって、コインを投げる数が十分に多くなると、裏面が表面より10回多くなる確率は必然的に40%以上になります。
7:裏面の数が表面より10回以上多くなると、必然的に-10点に到達したことになります。したがって、任意の位置xから出発すると、必ず自然数kが存在し、k歩進んだ後に-10点に到達した確率は40%以上になります。
同様に、+1から出発した場合、裏面の数が表面より11回以上多くなる確率も、コインを投げる回数が増えるにつれて50%に近づきます。仮に+2から出発すると、12回以上の確率も必然的に50%に近づきます...このようにして、任意の点から出発し続けると、-10点に到達する確率は必然的に50%に近づきます。
したがって、任意の位置xから出発すると、必ず自然数kが存在し、k歩以上進んだ後の経路で-10点に到達した確率は40%以上になります。kをxの関数k（x）として書くことができます。
次に、私たちは0（または任意の正の位置）から出発し、無限に進むことで-10点に到達する確率が1であることを証明できます。
明らかに0から出発し、k（0）歩進んだ後に-10点に到達する確率は40%以上です。仮にk（0）歩進んでも-10点に到達していない場合、その確率は60%未満です。仮にk（0）歩進んだ後に-10の右側のある点x1に留まった場合、x1から再びk（x1）歩進むと、-10点に到達する確率は必然的に40%以上になります。仮に再び-10点に到達せず、-10の右側のx2点に留まった場合、さらにk（x2）歩進むと、再び40%以上の確率で-10点に到達することになります。
したがって、無限に進むことで-10点に到達できない確率は必然的に（1-40%）（1-40%）（1-40%）...となります。したがって、無限に進んでも-10点に到達できない確率はゼロです。
したがって、無限に進むと、-10点に到達する確率は必然的に1になります。
私たちは歩くこととは少し異なることを知っています。ギャンブラーが全てのお金を失うと、賭けを続けることができません。しかし、私たちは無限に進んで-10点に到達する確率が1であることを証明しました。したがって、カジノがギャンブラーにとってほぼ無限のお金を持っているなら、ギャンブラーが全てを失う確率は必然的に1に近づくことになります。
これは、たとえギャンブラーの勝ち負けが五分五分であっても、彼が全てを失うことを証明しました。そして、もしあなたが勝ち負けが五分五分のギャンブラーを見つけた場合、逆に賭けても勝率の上での優位性はありません。逆に賭けても勝ち負けは必然的に五分五分になります。あなたの資金はカジノと同じくらい多くないので、ずっと賭け続ける限り、結末は高確率で全てを失うことになります。
