著者：Ciamac Moallemi、Dan Robinson、Paradigm
編纂：Yangz、Techub News
イントロダクション
この記事では、予測市場専用に設計された新しい自動マーケットメーカー（AMM）：pm-AMMを紹介します。
AMMとその前身（市場スコアリングルールなど）は、もともと予測市場に流動性を提供する手段として発明されました。今や、これらはほとんどのDEXの取引量を支配しています。しかし、皮肉なことに、予測市場の取引量が急増しているにもかかわらず、その大部分はAMMではなく注文簿を使用しています。
一つの可能性として、既存のAMMが結果トークン（すなわち、イベントが発生した場合にはトークンの価格が1ドルになり、イベントが発生しなかった場合にはトークンの価格が0ドルになる）に適さないという理由が考えられます。結果トークンの変動は、イベントの現在の確率と予測市場の満期時間に依存しているため、資産プールが提供する流動性は一定ではありません。予測市場が満期を迎えると、流動性提供者（LP）は基本的にその価値を失います。
そのため、私たちはこれらの考慮に基づいて最適化する新しいタイプのAMMを提案します。これは、特定のタイプの資産に対してAMMを最適化することが何を意味するのかという長年の課題を解決することを目的としています。言い換えれば、特定の資産（オプション、債券、安定コイン、または結果トークンなど）のモデルが、私たちが適用するAMMにどのように影響するのでしょうか？我々は、損失と再バランス（LVR）の概念に基づいて、この問題の可能な答えを提案します。
研究成果
私たちはいくつかの結果トークンの価格変動モデルを構築しました。これをガウス分数動的モデル（Gaussian score dynamics）と呼びます。このモデルは、予測市場に適用でき、特定の基本的なランダムな動き（バスケットボールの試合の得点差、選挙の投票数の差、あるいは特定の資産の価格など）が特定の期限内に特定の値を超えるかどうかを予測することができます。
私たちはこのモデルを使用して、これらのトークンに対する新しい不変式に基づくAMM、すなわち静的pm-AMM不変式を導出しました：
ここで、xはAMMにおける結果トークンのリザーブ、yはその対立する補完結果トークンのリザーブ、Lは全体の流動性または比例係数、ϕとΦはそれぞれ正規分布の確率密度関数と累積分布関数を表します。
上記の不変式は、損失と再バランス（LVR）という強力な概念に基づいています。私たちはこれを、AMMがアービトラージによって失う割合として見ることができ、LVRはAMMの形状とAMM上で取引される関連資産の価格変動に依存します。
私たちは特定の資産の統一AMM（uniform AMM）を定義します。これは、その資産が使用される場合、現在の価格に関係なく、そのAMMのLVRが特定の時点での投資ポートフォリオの価値に比例することを意味します。Milionisらは、価格が幾何ブラウン運動（GBM、株式や暗号通貨などの一般的な資産価格変動のための人気のあるモデル）に従う資産に対して、定数幾何平均市場メーカー（UniswapやBalancerなど）が唯一の統一AMMであると考えています。一方、静的pm-AMMは、資産の行動が私たちが提案した結果トークンのガウス分数動的モデルに従う場合の統一AMMです。
静的pm-AMMはすべての価格で統一LVRを持っています（投資ポートフォリオの一部として）。しかし、予測市場の満期が近づくとLVRは依然として増加します。これは、予測市場が満期に近づくと非常に不安定になる可能性があるためです。pm-AMMを調整して流動性を減少させることで、AMMが満期前の残り時間内のすべての時点で期待LVRを一定に保つように、動的pm-AMM不変式を導出しました。この不変式は満期時間T-tに依存します：
動的pm-AMMのメカニズムは、流動性を継続的に減少させることで、満期日が近づくにつれてLVRが増加するのを防ぎます。実際の資金プールでは、これは必ずしも望ましいことではありません。特に、非アービトラージ取引活動（およびそれに伴う費用）が時間とともに増加する可能性もあるためです。しかし、pm-AMMは流動性提供者に、期待される費用とアービトラージリスクをどのように配分するかに基づいて流動性を調整できるフレームワークを提供します。
これらのAMMは、オンチェーン予測市場の受動的流動性を導くのに役立つかもしれません。統一AMMの概念と関連する方法は、DEXの設計者にも広く適用できる可能性があり、彼らはこれらの方法を利用して、幾何ブラウン運動に従わない他のタイプの資産（安定コイン、債券、オプション、またはその他のデリバティブ）にカスタマイズしたAMMを設計できます。
図1は、静的および動的pm-AMMの不変曲線（invariant curve）を示し、他の著名な不変曲線である定数製品市場メーカー（CPMM）および対数市場スコアリングルール（LMSR）と比較しています。動的pm-AMMのリザーブ曲線は、時間が経つにつれて提供される流動性が低くなりますので、注意してください。
図2は、Uniswap v3集中流動性AMM上に静的pm-AMM不変式を実施した場合、CPMMおよびLMSRと比較して発生する「流動性指紋」（liquidity fingerprint）を示しています。横軸は相対価格（xトークンの価格をyトークンの価格で割った値）の対数スケール、縦軸は各AMMがその価格レベルで提供する流動性を示しています。見ると、これらの二つの代替案と比較して、pm-AMMは相対価格が1（確率50%、つまりトークン価格が0.50に等しい）でより多くの流動性を集中し、極端な相対価格（非常に低いまたは非常に高い）では流動性をあまり集中しないことが分かります。
研究背景
予測市場
予測市場は暗号通貨においてますます人気のあるアプリケーションです。2024年10月の時点で、Polymarketの取引量は20億ドルを超えました。しかしながら、ほとんどの暗号通貨予測市場の流動性はAMMではなく注文簿で提供されており、後者は暗号通貨のほとんどのDEX取引量で支配的です。
一つの可能性として、結果トークンの価格行動が一般的な資産とは異なるため、それらのために設計されたAMMが安定して機能しないという理由が考えられます。たとえば、コイン投げゲームに関する予測市場を想像してみてください。このゲームでは、誰かが1001回コインを投げます。各結果（表と裏）はそれぞれxとyのトークンに対応します。最終的に、表が裏より多ければ、xトークンの価値は1ドルとなり、裏が表より多ければ、xトークンの価値は0ドルとなります。yトークンは逆の結果になります。
これらの結果トークンの変動性は、残りの投票回数および現在の投票状況に大きく依存します。現在の状況が近いほど、残りの投票回数が少ないほど、これらのトークンの変動性は大きくなります。これは、定数製品市場メーカーの損失（以下に述べるようにボラティリティに依存する）は時間とともに大きく変動することを意味します。
図3は、ガウス分数動的条件下での結果トークン価格の変動性とトークン価格と残り時間の関数関係を示しています。
多くの人気のある予測市場は、実際にはこのコイン投げの例に似ています。賭けは、将来の特定の満期で、あるランダムな動きの終点が0を超えるかどうかです。例えば：
バスケットボールの試合結果に関する予測市場の場合、試合の残り時間が0になると市場は満期を迎えます。ランダムな動きは、二つのチーム間の得点差です。
大統領選挙結果に関する予測市場は、選挙日に満期を迎えます。ランダムな動きは、候補者に投票する意図を持つ有権者の数の差です。
ある特定の日付において、ビットコインなどの資産の価格が特定の行使価格を超えるかどうかに関する予測市場において、ランダムな動きは現在のビットコイン価格から特定の行使価格を引いた対数となります。
この記事で定義した結果トークンの価格変動モデル、すなわちガウス分数動的モデルは、このような例からインスピレーションを得ています。このモデルは、予測市場の価格が特定の潜在的なブラウン運動が0以上で終わる確率と一致することを仮定します。このモデルは二項オプションのブラック-ショールズモデルに似ています（このオプションは、資産価格がある行使価格を超える場合、固定のドル額を支払います。資産価格がその行使価格を下回る場合には0ドルを支払います）。ただし、私たちのモデルでは、潜在的なプロセスが取引可能な資産の価格に対応する必要はありません。
私たちは結果トークンの価格が1ドルの確率と一致するという簡略化された仮定を行いました。この仮定は、リスクと時間の嗜好など、市場の重要な特徴を無視していますので、今後の研究ではこれらの特徴がこのモデルにどのように影響するかを探求することが課題となります。
さらに、すべての予測市場がガウス分数動的モデルに適しているわけではありません。このモデルは、新しい情報が出現する速度が予測可能であることを仮定しています。たとえば、バスケットボールの試合はサッカーの試合よりもこのモデルに適しているかもしれません。なぜなら、バスケットボールの試合の得点頻度は非常に高く、そのため得点差の進化は時間とともにより一貫しているからです。さらに、特定の日付以前に特定の一過性の偶発事象（地震など）が発生するかどうかを予測する市場など、このモデルとは全く異なる予測市場も存在します。しかし、このモデルは他の動的導出モデルにとって有用な出発点である可能性があり、任意のモデルの導出における統一AMMの方法のデモンストレーションとして機能することができます。
損失vs再バランスと統一性
このモデルを明確にした後、我々は既存のAMM（定数製品市場メーカーやLMSRなど）よりもこれらのトークンに適したメカニズムを導出しました。我々が使用した指標は流動性提供者の期待損失率であり、「損失と再バランス」（loss-vs-rebalancing）またはLVRとして表されます。
LVRはAMMの主要な逆選択コストを捉えます：取引がない場合、AMMの価格は静的であり、新しい情報が出現すると価格が古くなります。LVRは、これらの古くなった価格が情報に精通したアービトラージャーによって利用され、AMMにとって不利な価格でアービトラージ取引が行われるため、AMM流動性提供者が負担するコストを反映しています。したがって、LVRはAMMが価格を修正するためにアービトラージャーに支払う費用と見なすことができます。
さらに、取引手数料がない場合、LVRは流動性提供者が個別に保有しているトークンとプールリザーブのトークンの数量が完全に一致する空売りポジションをデルタヘッジすることによって生じる損失でもあります。したがって、LVRはブラック-ショールズオプション価格モデルの主要な洞察に基づいています。オプションが基礎資産とデルタヘッジを行うことで市場リスクを排除するのと同様に、LVRは市場リスクを排除した後、AMMにおけるLPポジションを評価します。言い換えれば、LVRはAMMにおける流動性提供者の特異性を隔離し、単にAMMのリザーブと同じトークンを保有することで市場リスクを負うのではありません。
私たちが考慮しているのは、手数料やMEV回収メカニズムのない単純な不変式に基づくAMMです。この場合、AMMは必ずアービトラージによって損失を被り、どのAMMの不変式もLVRを排除することはできません（取引を全く生じさせない不変式を除く）。さらに、「最小化」LVRであっても実際には意味がなく、なぜならLVRを減少させることは、提供される流動性を減少させるだけだからです。
しかし、LVRを排除することはできませんが、LVRをさらに統一することで、損失の資産プール価値の割合が資産の現在の価格に依存しないようにすることができます。この特性を私たちは統一性（uniformity）と呼びます。
あるスポンサーが、結果の予測に対する市場の見解を理解するために、ゼロ費用の予測市場で流動性を提供しようとしていると想像してみてください。このスポンサーは損失を被りますが、特定の時間や特定の価格に損失を集中させるよりも、損失を平均して分配したいと考えています。この場合、資産プールの現在の投資ポートフォリオの価値は、スポンサーの「予算」と見なすことができます。統一AMMでは、スポンサーがある時点で1ドルの流動性を投入すると、次の時点での期待損失は資金プールの現在の状態に依存しません。
さらに、統一性は利益追求の流動性提供者にとっても潜在的な意味を持ちます。AMMが損失と再バランスから部分的な利益を得ることができ、さらには非ゼロスワップ手数料やMEV税などのオークションメカニズムによって損失を回避することができるとしても、異なる価格と異なる時間に流動性をどのように配分するかを決定するためのいくつかの戦略が必要です。ゼロ手数料プールの期待損失を、特定の時間に流動性をどの程度配分するかを測る方法として考えることができます。この方法は、資産の価格プロセスを考慮に入れています。
私たちは特定の資産の統一AMMを定義します。これは、資産の現在の価格に関係なく、その期待LVRが資産プールの現在の価値の一定の割合であるAMMを意味します。AMMが統一LVRを持つかどうかは、資産自体の価格プロセスに依存します。Milionisらの付録B.2に示されているように、資産の価格が幾何ブラウン運動に従う場合、その資産と数倉との間に基本的に唯一の統一AMMは加重幾何平均市場メーカーであり、その不変式は次のようになります：
これはBalancerで使用されている式であり、Uniswap v2で使用されている定数製品市場メーカーもその一例です。しかし、ガウス分数動的に従うトークンに対しては、定数幾何平均AMMは統一LVRを持ちません。対数市場スコアリングルール（LMSR）も同様です。
図4は、CPMMとLMSRが静的pm-AMMの統一LVRと比較して、時間T-t=1のときにガウス分数動的結果トークンのLVRであることを示しています。
これらの考慮に基づいて、私たちはガウス分数動的条件において予測市場のために設計された2つのAMMを開発しました。一つは任意の時点で統一LVRを持つが、予測市場の満期が近づくにつれてLVRが増加します。もう一つは、残りの時間範囲内で統一LVRと一定の期待LVRを持ちます。
図4から明らかなように、結果トークンの価格が0または1の極端な状況に近いとき、CPMMとLMSRでは大きなLVRが発生します。これは、これらのポイントの近くで価格の変動性が低い（図3参照）にもかかわらず、極端な価格では資産プールの価値の減衰速度が早くなるためです。したがって、統一AMMは極端な価格で少ない流動性を提供するべきであり、これはちょうどpm-AMMの設計が行っていることです（図2参照）。
以前の研究
AMMは予測市場と市場スコアリングルール（LMSR）に由来します。これらのルールは、定数関数市場メーカー（CFMM）、たとえばUniswap v2を発見するきっかけとなります。これらのAMMは、各資産のリザーブ間に不変関係が存在することが一般的な特徴です。この設計に基づくAMMは、近年DEXの主流市場メカニズムとなっています。
最近、金融経済学の観点が自動マーケットメイカーのコストを理解するために適用されており、その形式は損失と再バランス（LVR）であり、主に幾何ブラウン運動に焦点を当てています。一方、予測市場の価格ダイナミクスは非常に異なります。なぜなら、これらの収益は有限であり、期限も限られているからです。タレブは観測可能な投票過程に基づく動的を提案しましたが、私たちは観測可能なガウス分数過程に基づく別の動的を開発しました。
非GBM資産のための自動マーケットメイカーの設計に関して、以前にいくつかの応用研究が行われています。その一例はStableSwapであり、これは安定コインペアのために設計されたAMMであり、関連資産と平均回帰資産の間で流動性を一つの価格に集中させるという直感的な前提に基づいていますが、その導出は資産価格プロセスのモデリングには関与していません。もう一例はYieldSpaceであり、これはゼロクーポン債のために設計されたAMMです。YieldSpaceの導出は単純なゼロクーポン債価格モデルを含んでいますが、完全な価格プロセスモデルは含まれていません（利率の変化をモデリングしていません）。
さらに、学術界では、資産価格行動に関する信念に基づいてリアルタイム市場モデルを設計するいくつかの研究もあります。その一例はGoyalらの設計です。彼らのフレームワークは、期待されるアクティブな流動性を最大化することを目的として設計されており、期待される損失の一貫性を確保するのではなく、時には私たちとは反対の結果を導き出すこともあります。たとえば、流動性提供者が資産の相対価格が1周辺に留まることを期待している場合、LMSR（CPMMに対して、LMSRは価格1周辺に流動性を集中させます）は非常に適しています。一方で、私たちのフレームワークは、もし期待される価格が分化する（結果トークンのように）のであれば、1周辺に流動性を集中させる理由があると考えています。
様々なAMMモデル
自動マーケットメイカー
単一イベントに関する予測市場と、二つの対立資産を取引するAMMを考えることができます。一つのリスク資産はxで示され、イベントが発生すれば1ドルを支払い、そうでなければ何も支払いません。もう一つのリスク資産はyで示され、支払いの仕方は逆です。AMMは不変式f(x,y)=Lを保持しており、ここでf(⋅,⋅)はリザーブ(x,y)の不変関数で、Lは定数です。x資産の価格P（ドル単位）を考慮すると、資産プールの価値関数は次のようになります：
これはxの価格がPであるときの資産プール価値です。一単位のxとy資産を保持することは現金を保持することと同等であるため、yの価格を1-Pとする必要があります。アービトラージャーのグループがいて、各時点tでx資産の価格Pt（およびy資産の価格1-Pt）を観察できると仮定します。取引手数料や他の摩擦がないと仮定すると、これらのアービトラージャーはAMMを監視し、AMMのどんな誤った価格設定からでも価値を引き出そうとします。彼らは自身の利益を最大化しようとするため、AMMのリザーブ価値を最小化する取引を行います。t時点（価格がPtのとき）のリザーブ価値をVtと表すと、Vt=V(Pt)となります。
例1：定数製品市場メーカー（CPMM）の場合、不変式はf(x,y)≜xyで、資産プールの価値関数は次のようになります：
例2：ロビン・ハンソンが作成した対数市場スコアリングルール（LMSR）は、次の不変式を満たすAMMと見なすことができます。
その資産プールの価値関数は（価格が暗示するイベントの二項エントロピーに比例する）：
x∗(P)とy∗(P)を最適化問題(1)の最適解とし、これらが存在し、唯一であり、価格Pの十分に平滑な関数であると仮定します。次の式は、Milionisらの定理1に似ていますが、現在の環境に適用されます：
定理1. すべての価格P≥0に対して、資産プールの価値関数は次の条件を満たします：
ガウス分数動的
リスク資産の価格は、私たちが言うガウス分数動的に従って時間とともにどのように進化しますか？具体的には、時間区間t∈[0,T]にランダムプロセス{Zt}が存在し、イベントはZtの時間間隔t=T終了時の符号によって決定されると仮定します：もしZT≥0であれば、資産xが支払われ、もしZT<0であれば、資産yが支払われます。Ztは、二者間競争における二つのチーム間の得点差として理解できます。したがって、Ztを得点プロセスとして見なします。私たちのモデルはこの得点プロセスが存在すると仮定していますが、AMMはこれらのプロセスを直接観察する必要はありません。以下で述べるように、AMMは限界価格（アービトラージ後）と満期時間に基づいて、得点の現在の値を推測できます。
Ztがランダムな変動に従うと仮定します。具体的には、Ztはボラティリティσ>0のブラウン運動であると仮定します。すなわち、dZt=σdBtであり、ここでBtは標準ブラウン運動です。したがって、資産xの時間tの価格Ptは次のようになります：
ここで、Φ(⋅)は標準正規累積分布関数（CDF）です。伊藤の定理を適用すると、Ptは次のように満たさなければなりません：
ここで、ϕ(⋅)は標準正規確率密度関数で、Φ-1(⋅)は逆CDFです。得点動的と得点から価格への変換または逆変換はσに依存していますが、孤立した価格プロセスPtの動的はσに依存しません。これらの動的な変動と価格および残り時間の関数関係は図3に示されています。
統一AMM
上記の議論に基づいて、Vtを時間tにおける資産プールリザーブの価値（この時点での価格はPt）と表すと、Vt=V(Pt)となります。伊藤の定理を適用すると、資産プールの価値は次の式に従って変化します：
価格Ptがマルチンゲール（martingale）であるため、(2)の第二項もマルチンゲールであり、増加または減少する可能性があります。しかし、V(⋅)に基づいて（定理1を参照）、第一項はネガティブな変換に対応するため、減少過程です。これはMilionisらが提唱した損失と再バランスの過程であり、不利な価格で資産プールに対してヘッジ取引を行うアービトラージャーが失う価値をキャッチします。この損失の瞬時の割合を私たちは定義します：
Milionisらは、幾何ブラウン運動に従う資産に対して、基本的に幾何平均市場メーカーのみが統一AMMであることを発見しました。ガウス分数動的の予測市場において、（3）を調査するために、統一LVRプールは次の常微分方程式（ODE）を解かなければなりません：
これは不可能です。なぜなら、等式の左辺はtに依存し、右辺はtに依存しないからです。ここでの核心的な問題は、幾何ブラウン運動のダイナミクスが時間にわたって不変であるのに対し、ガウス分数動的は時間に非常に依存することです。
この問題を回避するために、αを時間に関連づけることを許可します。つまり、α=β/(T-t)と設定でき、ここでβ>0とします。次のような設定を考えましょう。
これはP≥0のODEと同等です。さらに、V(⋅)にはいくつかの追加の要件があります。たとえば、V′′(P)≤0（定理1を参照してください）。
静的pm-AMM
変数u=Φ-1(P)を変更することで、上記のODEを簡略化できます。β=1/2の場合、ODEを満たし、追加の凹性条件も満たす解があります。
xとyトークンのストックは：
ここで、L≥0は流動性パラメータであり、資金プールの規模のスケーリングを決定します。y∗(P)-x∗(P)=LΦ-1(P)を観察し、これを(5)に代入すると、資金プールのリザーブ(x,y)は不変式を満たさなければなりません：
これが静的pm-AMMの定義です。設計により、このAMMは次の関係式を満たします：
Vˉt=E[Vt]を期待プール価値と定義すると、（2）から次のことが得られます：
この常微分方程式を解くことで、以下の答えが得られます。言い換えれば、期待される状況では、静的pm-AMMの資産プール価値は残りの時間範囲の平方根に従って減衰します。
動的pm-AMM
静的pm-AMMの欠点は、すべての可能な価格における1ドルあたりの価値のLVRは統一されていますが、時間とともに変化することです。特に、1ドルの価値の損失は満期時間に反比例するため、時間と共に増加し、満期時にすべての価値を失います。
動的流動性。私たちは、静的pm-AMMデザインの動的変形を想像しており、AMM LPが時間とともに流動性を引き出して損失を減少させることを目的としています。具体的には、資金プールの価値を仮定します：
ここで、Ltは決定論的な平滑関数であり、時間とともに流動性が除去される（または増加する）程度を決定します。伊藤の定理を資産プール価値プロセスVt≜V(Pt,t)に適用すると、次のようになります：
Ctを流動性を引き出す際の累積ドル価値とします。資金プールの価値は流動性Ltに線形の関係を持つため、Ltの変化によるドル価値はVt/LTに比例します。したがって、次のようになります：
AMM LPの総富Wtは、資金プールのリザーブ価値と引き出された流動性の累積価値で構成されるため、Wt=Vt+Ctとなり、次のように満たします：
これは、LPの期待富Wˉt≜E[Wt]が以下の条件を満たすことを意味します。ここで、Vˉt≜E[VT］です。
さて、流動性曲線の具体的な選択を次のように考えます：
これを動的pm-AMMと呼びます。そして（7）に従って、期待資産プール価値Vˉt=E[Vt]は次のようになります：
この常微分方程式を解くことで、以下の答えが得られます。
言い換えれば、動的pm-AMMでは、引き出し後に期待される資金プールの価値が線形に減少します。さらに、静的pm-AMMの価値関数を引き継いでいるため、単位時間あたりのLVR損失率は次のようになります：
期待損失率は以下の値で、tの間に一定に保たれます。すなわち、時間が経つにつれて、動的pm-AMMはアービトラージャーの資金を一定の速度で（期待的に）損失します。
最後に、(8)に基づいて、期待される富のプロセスが以下のように示されます。したがって、初期の富の半分は最後に失われます。
結論
pm-AMMは、類似のガウス分数動的モデルなどの動的に駆動される予測市場に適用できるかもしれません。さらに、私たちの研究は、統一AMMが債券、オプション、その他のデリバティブのような他のタイプの資産にも適用できる可能性があることを示しています。