Tu pregunta es un simple problema de proceso aleatorio, y la verdad es que, en realidad, la razón por la que los apostadores pierden todo no necesariamente es porque su tasa de éxito sea demasiado baja, sino que es muy probable que sea porque tienen muy poco capital y siguen apostando, por lo tanto, mientras tu dinero no sea suficiente, incluso si apuestas en contra del apostador, también perderás todo.
Por ejemplo, un apostador tiene una probabilidad de ganar y perder del 50%, pero su capital inicial es relativamente pequeño, mientras que el dinero del casino es casi infinito para él, entonces para este apostador, si sigue apostando, su resultado final es casi seguro que perderá todo: y si tu dinero no es suficiente, incluso si apuestas en contra de este apostador, tu tasa de éxito será del 50%, en realidad en ese momento solo serás otro apostador, tu resultado final será que o perderás todo antes de que este apostador pierda todo, o no perderás todo antes de que este apostador pierda todo, y luego perderás todo al seguir apostando en el siguiente apostador.
En otras palabras, siempre que el juego continúe hasta que una de las partes pierda todo, entonces decidir quién finalmente pierde todo y quién finalmente gana, no solo depende de la tasa de éxito, sino que también depende en gran medida del capital. Aunque tu tasa de éxito y la del oponente sea del 50%, si el oponente tiene un capital infinito, entonces el que perderá será definitivamente tú.
¿Cómo entender este problema matemático? Examinamos un modelo matemático simple, supongamos que hay un apostador que inicialmente tiene 100 unidades, apuesta 10 unidades cada vez, y la probabilidad de ganar o perder en cada apuesta es del 50%, gana 10 unidades y pasa a 20, si pierde las 10 unidades se queda sin nada.
Este proceso en realidad es un proceso de caminata aleatoria, que puede simplificarse a que al principio estás en la posición 0 del eje de coordenadas unidimensional, solo puedes moverte a la izquierda o a la derecha, y cada vez que te mueves lanzas una moneda al azar, si sale cara te mueves un paso a la derecha, si sale cruz te mueves un paso a la izquierda, de esta manera hay un 50% de probabilidad de moverte a la izquierda y luego un 50% de probabilidad de moverte a la derecha, llegar a -10 se considera perder todo.
A continuación, explicaré de una manera más simple: si sigues caminando, la probabilidad de llegar a la posición -10 es 1; es decir, si el dinero del oponente es infinito y el apostador sigue apostando, la probabilidad de perder todo es 1, es decir, a.s. perder todo.
Primero, podemos demostrar fácilmente que al partir de cualquier posición x, debe existir un número natural k tal que al caminar más de k pasos, la probabilidad de haber llegado al -10 en el camino es mayor al 40%.
¿Por qué esta proposición es correcta? Porque:
Supongamos que partimos desde 0, entonces
1: En este juego solo podemos dar un paso a la vez, no podemos saltar, por lo tanto, si llegas a cualquier punto a la izquierda de -10, significa que debes haber llegado al -10 al menos una vez. Esto significa que si el número de veces que sale cara es más de 10 veces que el de cruz, eso implica que estás a la izquierda de -10, y dado que no puedes saltar, eso significa que debes haber llegado al -10.
2: Este es un juego en el que lanzar una moneda decide la dirección del movimiento, la probabilidad de que el número de caras sea mayor o igual que el número de cruces es definitivamente del 50%.
3: Si lanzamos la moneda un número infinito de veces, la probabilidad de que el número de cruces sea exactamente una vez más que el de caras tiende a cero, ya que el crecimiento de combinaciones es más lento que la función exponencial de 2.
4: De manera similar, se puede deducir fácilmente que a medida que aumenta el número de lanzamientos de monedas, la probabilidad de que el número de cruces sea exactamente 2, 3,... o 9 veces más que el número de caras tiende a cero.
5: La probabilidad de que el número de cruces sea más de 10 veces que el de caras es igual a 1 menos la probabilidad de que el número de caras sea mayor o igual que el número de cruces, menos la probabilidad de que el número de cruces sea exactamente entre 1 y 9 veces más que el de caras. Por lo tanto, a medida que aumenta el número de lanzamientos de monedas, la probabilidad de que el número de cruces sea más de 10 veces que el de caras definitivamente tiende al 50%.
6: Dado que la probabilidad de que el número de cruces sea más de 10 veces que el de caras tiende al 50% a medida que aumenta el número de lanzamientos de monedas, entonces, con un número suficientemente grande de lanzamientos de monedas, la probabilidad de que el número de cruces sea más de 10 veces el de caras será definitivamente mayor al 40%.
7: Una vez que el número de cruces sea más de 10 veces que el de caras, entonces definitivamente habrás llegado al -10. Por lo tanto, al partir de cualquier posición x, debe existir un número natural k tal que al caminar k pasos, la probabilidad de haber llegado al -10 sea mayor al 40%.
De manera similar, supongamos que partimos de +1, la probabilidad de que el número de cruces sea más de 11 veces que el de caras también tenderá al 50% a medida que aumente el número de lanzamientos de monedas. Supongamos que partimos de +2, la probabilidad de que sea más de 12 veces también tenderá al 50%... De manera similar, partiendo de cualquier punto, si seguimos caminando, la probabilidad de llegar al -10 tenderá necesariamente al 50%.
Por lo tanto, al partir de cualquier posición x, debe existir un número natural k tal que después de caminar más de k pasos, la probabilidad de haber llegado al -10 en el camino sea mayor al 40%, podemos expresar k como una función de x, k(x).
Luego, podemos demostrar que al partir de 0 (o cualquier posición positiva también está bien), si seguimos caminando indefinidamente, la probabilidad de llegar al -10 es 1.
Es evidente que al partir de 0, tras caminar k(0) pasos, la probabilidad de haber llegado al punto -10 es mayor o igual al 40%. Supongamos que después de caminar k(0) pasos no hemos llegado al -10, entonces esta probabilidad es menor al 60%. Supongamos que después de caminar k(0) pasos nos quedamos en algún punto x1 a la derecha de -10, entonces al partir de x1 y caminar k(x1) pasos, la probabilidad de haber llegado al -10 debe ser nuevamente mayor al 40%. Supongamos que no hemos llegado al -10, sino que nos quedamos en el punto x2 a la derecha de -10, entonces continuamos caminando otros k(x2) pasos, y definitivamente habrá más del 40% de probabilidad de haber llegado al -10...
Por lo tanto, de manera similar, la probabilidad de que al caminar indefinidamente no se alcance el -10 debe ser menor o igual a (1-40%)(1-40%)(1-40%)..., por lo tanto, la probabilidad de que al caminar indefinidamente no se alcance el -10 es cero.
Por lo tanto, si seguimos caminando indefinidamente, la probabilidad de llegar al -10 debe ser 1.
Sabemos que, a diferencia de caminar, un apostador que pierde todo su dinero no puede seguir apostando, y hemos demostrado que la probabilidad de caminar indefinidamente hasta el -10 es 1, así que si el casino tiene un capital casi infinito en comparación con el apostador, la probabilidad de que el apostador pierda todo debe acercarse a 1.
Esto demuestra que incluso si la tasa de éxito del apostador es del 50%, él también perderá todo, y si buscas a un apostador cuya tasa de éxito sea del 50%, entonces apostar en contra de él no te dará ninguna ventaja en términos de tasa de éxito, por lo que tu resultado final al apostar en contra también será del 50%. Tu capital no es tan grande como el del casino, así que si sigues jugando así, el resultado solo puede ser perder todo.
