Autores: Ciamac Moallemi, Dan Robinson, Paradigm
Compilado por: Yangz, Techub News
Introducción
En este artículo, introducimos un nuevo tipo de creador de mercado automático (AMM) diseñado específicamente para mercados predictivos: pm-AMM.
AMM y sus precursores (como las reglas de puntuación de mercado) fueron inicialmente inventados como una forma de proporcionar liquidez para mercados predictivos. Hoy en día, dominan la mayor parte del volumen de transacciones en DEX. Sin embargo, irónicamente, aunque el volumen de transacciones en mercados predictivos ha aumentado drásticamente, la mayor parte de ellos utiliza libros de órdenes en lugar de AMM.
Una posible razón es que los AMM existentes no son adecuados para tokens de resultado (es decir, si el evento ocurre, el precio del token es 1 dólar; si el evento no ocurre, el precio del token es 0 dólares). La volatilidad de los tokens de resultado depende de la probabilidad actual del evento y del tiempo hasta la fecha de vencimiento del mercado predictivo, lo que significa que la liquidez proporcionada por el fondo es inconsistente. Una vez que el mercado predictivo vence, el proveedor de liquidez (LP) pierde prácticamente todo su valor.
Para ello, proponemos un nuevo tipo de AMM optimizado en torno a estas consideraciones, diseñado para abordar una pregunta de larga data en la investigación de AMM: ¿qué significa optimizar un AMM para un tipo específico de activo? En otras palabras, dado un modelo de algún activo (como opciones, bonos, stablecoins o tokens de resultado), ¿cómo afectará esto a los AMM que aplicamos? Proponemos una posible respuesta a esta pregunta basada en el concepto de pérdida y reequilibrio (LVR).
Resultados de la pesquisa
Hemos establecido un modelo para los cambios de precio de algunos tokens de resultado, al que llamamos modelo de dinámica de puntuaciones gaussianas. Este modelo puede ser aplicable a mercados predictivos, capaces de predecir si ciertos movimientos aleatorios fundamentales (como la diferencia de puntos en un partido de baloncesto, la diferencia de votos en una elección o el precio de ciertos activos) estarán por encima de cierto valor en un tiempo de vencimiento específico en el futuro.
Utilizamos este modelo para derivar un nuevo AMM basado en invarianza para estos tokens, es decir, la invarianza pm-AMM estática:
Donde, x es la reserva del token de resultado en AMM, y es la reserva del token de resultado opuesto y complementario, L es la liquidez total o coeficiente proporcional, ϕ y Φ representan la función de densidad de probabilidad y la función de distribución acumulativa de la distribución normal, respectivamente.
La invarianza mencionada se basa en un concepto poderoso, a saber, la pérdida y el reequilibrio (LVR), que podemos ver como la tasa a la que AMM pierde valor debido al arbitraje, donde LVR depende de la forma de AMM y de la variación de precios de los activos relacionados que se comercializan en AMM.
Definimos un AMM unificado para un activo como aquel en el que, si se utiliza para ese activo, el LVR de dicho AMM es proporcional al valor de la cartera en un momento dado, independientemente del precio actual. Milionis et al. concluyeron que para activos cuyos precios siguen un movimiento browniano geométrico (GBM, un modelo popular para la variación de precios de activos comunes como acciones y criptomonedas), el creador de mercado de media geométrica constante (como Uniswap y Balancer) es el único AMM unificado, mientras que el pm-AMM estático es un AMM unificado para la dinámica de puntuaciones gaussianas de los tokens de resultado que hemos propuesto.
Aunque el pm-AMM estático tiene un LVR unificado en todos los precios (como una parte del valor de la cartera), el LVR aún aumentará a medida que se acerque la fecha de vencimiento del mercado predictivo. Esto se debe a que los mercados predictivos pueden ser muy inestables a medida que se acerca la fecha de vencimiento. Para ajustar el pm-AMM para reducir su liquidez, de modo que el LVR esperado en todos los momentos del tiempo restante antes del vencimiento se mantenga constante, derivamos la invarianza del pm-AMM dinámico, que depende del tiempo de vencimiento T-t:
El mecanismo del pm-AMM dinámico previene que LVR aumente a medida que se acerca la fecha de vencimiento al proporcionar liquidez que disminuye constantemente. En un fondo de activos real, esto puede no ser deseable, especialmente porque la actividad de transacciones no arbitrales (y por tanto, las tarifas generadas) también pueden aumentar con el tiempo. Sin embargo, el pm-AMM proporciona un marco para que los proveedores de liquidez ajusten su liquidez según las tarifas esperadas y cómo desean asignar el riesgo de arbitraje.
Estos AMM pueden ayudar a guiar la liquidez pasiva de los mercados predictivos en cadena. El concepto de AMM unificado y los métodos relacionados también pueden ser aplicables de manera más amplia a los diseñadores de DEX, que pueden usar estos métodos para personalizar AMM para otros tipos de activos cuya variación de precios no siga un movimiento browniano geométrico, como stablecoins, bonos, opciones u otros derivados.
La figura 1 muestra las curvas invariantes de pm-AMM estático y dinámico, y se compara con otras curvas invariantes conocidas, a saber, el creador de mercado de producto constante (CPMM) y la regla de puntuación de mercado logarítmico (LMSR). Tenga en cuenta que la curva de reservas del pm-AMM dinámico proporciona menos liquidez con el tiempo.
La figura 2 muestra la situación del "huella de liquidez" que surgiría si se implementara la invarianza del pm-AMM estático en un AMM de liquidez concentrada de Uniswap v3, en comparación con CPMM y LMSR. El eje horizontal corresponde a la escala logarítmica de precios relativos (el precio del token x dividido por el precio del token y), y el eje vertical corresponde a la liquidez de cada AMM en ese nivel de precio. Se puede observar que, en comparación con estas dos alternativas, el pm-AMM concentra más liquidez cuando el precio relativo es 1 (probabilidad del 50%, es decir, el precio del token es igual a 0.50), mientras que concentra menos liquidez en precios relativos extremos (muy bajos o muy altos).
Antecedentes de la investigación
Mercados predictivos
Los mercados predictivos son aplicaciones cada vez más populares en criptomonedas. Solo en octubre de 2024, el volumen de Polymarket superó los 2 mil millones de dólares. Sin embargo, la mayor parte de la liquidez en los mercados predictivos de criptomonedas se proporciona a través de libros de órdenes, no a través de AMM, aunque estos últimos dominan la mayor parte del volumen de transacciones en la mayoría de los DEX de criptomonedas.
Una posible razón es que el comportamiento de precios de los tokens de resultado es diferente al de los activos comunes, por lo que los AMM diseñados para ellos no pueden funcionar de manera estable. Por ejemplo, imaginen un mercado predictivo sobre un juego de lanzamiento de monedas, donde hay 1001 lanzamientos de monedas, y cada resultado (cara o cruz) corresponde a los tokens x e y. Al final, si hay más caras que cruces, el valor del token x es 1 dólar, y si hay más cruces que caras, el valor del token x es 0 dólares; el token y, a su vez, será lo contrario.
La volatilidad de estos tokens de resultado depende en gran medida del número de lanzamientos restantes y de la situación actual de los lanzamientos. Cuanto más cercanas esté la situación actual y menos lanzamientos queden, mayor será la volatilidad de estos tokens. Esto significa que las pérdidas del creador de mercado de producto constante (que dependen de la volatilidad, como se describe a continuación) varían significativamente con el tiempo.
La figura 3 muestra la relación funcional entre la volatilidad del precio del token de resultado y el precio del token y el tiempo restante bajo condiciones de dinámica de puntuaciones gaussianas.
Muchos de los mercados predictivos populares son en realidad similares a este ejemplo de lanzamiento de monedas, apostando si, en un momento futuro, un cierto movimiento aleatorio estará por encima o por debajo de 0. Por ejemplo:
En un mercado predictivo sobre el resultado de un partido de baloncesto, una vez que el tiempo restante del partido es 0, ese mercado vence. El movimiento aleatorio es la diferencia de puntos entre los dos equipos.
El mercado predictivo sobre el resultado de la elección presidencial vence en el día de la elección. En este caso, el movimiento aleatorio es la diferencia de número de votantes que tienen la intención de votar por los candidatos.
En el mercado predictivo sobre si el precio de activos como Bitcoin estará por encima de cierto precio de ejercicio en una fecha futura determinada, el movimiento aleatorio puede ser el precio actual de Bitcoin menos el logaritmo de cierto precio de ejercicio.
El modelo de cambios de precios de los tokens de resultado que definimos en este artículo, es decir, el modelo de dinámica de puntuaciones gaussianas, se inspira en este tipo de ejemplos. Este modelo asume que el precio del mercado predictivo coincide con la probabilidad de que ciertos movimientos brownianos potenciales terminen por encima de 0. Este modelo es similar al modelo de Black-Scholes para opciones binarias (una opción binaria es un instrumento que paga una cantidad fija de dólares si el precio del activo está por encima de cierto precio de ejercicio; si el precio del activo está por debajo de cierto precio de ejercicio, paga 0 dólares). Sin embargo, en nuestro modelo, no se requiere que el proceso potencial corresponda al precio de un activo negociable.
De hecho, hacemos una suposición simplificada de que el precio del token de resultado coincide con su probabilidad de ser 1 dólar. Esta suposición ignora características importantes del mercado, incluidas el riesgo y la preferencia temporal, por lo que estudiar cómo estas características afectan a este modelo será un tema para futuras investigaciones.
Además, también debemos observar que no todos los mercados predictivos son adecuados para el modelo de dinámicas de puntuaciones gaussianas, ya que este modelo asume que la velocidad a la que aparece nueva información es predecible. Por ejemplo, los partidos de baloncesto pueden ser más adecuados para este modelo que los partidos de fútbol, ya que la frecuencia de puntuación en el baloncesto es mucho más alta, por lo que la evolución de la diferencia de puntos es más consistente a lo largo del tiempo. Además, algunos tipos de mercados predictivos son completamente diferentes de este modelo, como predecir si ocurrirá un evento inesperado en una fecha específica (como un terremoto). Pero, por otro lado, este modelo podría ser un punto de partida útil para otros modelos de derivación dinámica, y podría servir como una demostración del método para derivar un AMM unificado para cualquier modelo.
Pérdida vs Rebalanceo y Uniformidad
Una vez que se establece este modelo, derivamos un mecanismo que podría ser más adecuado para estos tokens que los AMM existentes (como los creadores de mercado de producto constante o LMSR). El indicador orientador que utilizamos es la tasa de pérdida esperada de los proveedores de liquidez, que se puede caracterizar como "pérdida frente a reequilibrio" (loss-vs-rebalancing) o LVR.
LVR captura el costo principal de selección adversa de AMM: en ausencia de transacciones, el precio de AMM es estático, mientras que a medida que aparece nueva información, el precio se vuelve obsoleto. LVR refleja el costo que soportan los proveedores de liquidez de AMM, ya que estos precios obsoletos son aprovechados por los arbitrajistas mejor informados, que realizan transacciones de arbitraje a precios desfavorables para AMM. Por lo tanto, LVR se puede ver como una tarifa que AMM paga a los arbitrajistas para corregir su precio.
Además, en ausencia de tarifas de transacción, LVR también es la pérdida que incurre un proveedor de liquidez al cubrir su posición LP Delta al mantener exactamente la misma cantidad de tokens en corto que tiene como parte de la reserva del fondo. Por lo tanto, LVR se basa en los principales insights del modelo de precios de opciones de Black-Scholes. Así como las opciones eliminan el riesgo de mercado mediante la cobertura Delta con el activo subyacente, LVR valora la posición LP en AMM después de eliminar el riesgo de mercado. Es decir, LVR aísla la singularidad de ser un proveedor de liquidez en AMM, en lugar de simplemente asumir el riesgo de mercado de mantener el mismo token que el de la reserva de AMM.
Consideramos un AMM simple basado en invarianza, sin tarifas ni mecanismos de recuperación de MEV. En este caso, AMM siempre perderá debido al arbitraje, y no hay invarianza de AMM que pueda eliminar LVR (excepto la invarianza que no genera transacciones en absoluto). Además, incluso "minimizar" LVR no tiene sentido práctico, ya que reducir LVR significa simplemente reducir la liquidez que se ofrece.
Sin embargo, aunque no podemos eliminar LVR, podemos hacer que LVR sea más unificado, de modo que el porcentaje del valor del fondo de activos perdido no dependa del precio actual del activo. Llamamos a esta característica unificación (uniformidad).
Imaginen un patrocinador dispuesto a proporcionar liquidez en un mercado predictivo sin tarifas, para comprender las predicciones del mercado sobre los resultados. Este patrocinador perdería dinero, pero también preferiría promediar las pérdidas en lugar de concentrarlas en un momento específico o en un precio específico. En este caso, el valor actual de la cartera del fondo de activos se puede considerar como el "presupuesto" del patrocinador. En un AMM unificado, si el patrocinador invierte 1 dólar de liquidez en un momento dado, entonces su pérdida esperada en el siguiente punto de tiempo no dependerá del estado actual del fondo.
Además, la unificación también tiene un significado potencial para los proveedores de liquidez que buscan obtener ganancias. Incluso si AMM puede obtener algunos ingresos de pérdidas y reequilibrios, o incluso volver a la rentabilidad (a través de tarifas de intercambio no nulas, o mediante mecanismos de subasta como impuestos MEV), aún necesita alguna estrategia para determinar cómo asignar la liquidez en diferentes precios y en diferentes momentos. Podemos considerar que la pérdida esperada en un fondo sin tarifas es una forma de medir cuánto liquidez se asigna en un momento específico, teniendo en cuenta el proceso de precios de los activos.
Definimos un AMM unificado para un activo específico como aquel en el que, independientemente del precio actual del activo, su LVR esperado es una fracción constante del valor actual del fondo de activos. Tenga en cuenta que si un AMM tiene un LVR unificado depende del proceso de precios del activo en sí. Como se muestra en el apéndice B.2 de Milionis et al., si el precio del activo sigue un movimiento browniano geométrico, entonces el único AMM unificado entre el activo y el almacén es el creador de mercado de media geométrica ponderada, cuya invarianza es:
Esta es la fórmula utilizada en Balancer, donde el creador de mercado de producto constante utilizado en Uniswap v2 es también un caso especial. Pero para los tokens que siguen una dinámica de puntuaciones gaussianas, el AMM de media geométrica constante no tiene un LVR unificado. Lo mismo ocurre con la regla de puntuación de mercado logarítmico (LMSR).
La figura 4 muestra el LVR para los tokens de resultado de dinámica de puntuaciones gaussianas comparado con CPMM y LMSR en el tiempo T-t=1.
Por estas razones, hemos desarrollado dos tipos de AMM diseñados para mercados predictivos bajo condiciones de dinámicas de puntuaciones gaussianas: uno con un LVR unificado en cualquier momento dado, pero con un LVR que aumenta a medida que se acerca la fecha de vencimiento del mercado predictivo; el otro con un LVR unificado y constante en el rango de tiempo restante.
Como se puede ver en la figura 4, cuando el precio del token de resultado está en extremos cercanos a cero o 1, CPMM y LMSR exhiben un LVR mayor. Esto se debe a que, aunque la volatilidad de precios cerca de estos puntos es baja (ver figura 3), a precios extremos, la velocidad de depreciación del valor del fondo de activos es más rápida. Por lo tanto, un AMM unificado debería proporcionar menos liquidez a precios extremos, lo cual es precisamente lo que hace el diseño pm-AMM (ver figura 2).
Investigación previa
Los AMM se originaron en mercados predictivos y reglas de puntuación de mercado (como LMSR). Estas reglas llevaron al descubrimiento de los creadores de mercado de función constante (CFMM), como Uniswap v2, que generalmente se caracterizan por la relación invariante entre las reservas de cada activo. Los AMM basados en este diseño se han convertido en el mecanismo de mercado dominante en DEX en los últimos años.
Recientemente, la perspectiva de la economía financiera ha sido aplicada para entender los costos de los creadores de mercado automáticos, en la forma de pérdida y reequilibrio (LVR), centrada principalmente en el movimiento browniano geométrico. Por otro lado, la dinámica de precios de los mercados predictivos es muy diferente porque sus rendimientos son limitados y su plazo es limitado. Taleb propuso dinámicas basadas en un proceso de votación potencialmente observable, mientras que nosotros hemos desarrollado otra dinámica basada en un proceso de puntuaciones gaussianas potencialmente observable.
Ha habido algunos estudios aplicados sobre el diseño de creadores de mercado automáticos para activos no GBM. Un ejemplo es StableSwap, que es un AMM diseñado para pares de stablecoins, basado en la premisa intuitiva de que el creador de mercado para activos correlacionados y activos de retorno a la media debe concentrar la liquidez en un precio, pero su derivación no involucra la modelización del proceso de precios de los activos. Otro ejemplo es YieldSpace, un AMM diseñado específicamente para bonos sin interés. Aunque la derivación de YieldSpace involucra un modelo de precios simple para bonos sin interés, no incluye un modelo completo del proceso de precios (no modeliza la evolución de las tasas de interés).
Además, también hay algunos trabajos académicos que se centran en la creencia sobre el comportamiento del precio de los activos para diseñar modelos de mercado en tiempo real. Un ejemplo es el diseño de Goyal et al. Su marco está diseñado para maximizar la liquidez activa esperada, en lugar de hacer que las pérdidas esperadas sean consistentes, por lo que a veces producen resultados opuestos a los nuestros. Por ejemplo, su derivación sugiere que si los proveedores de liquidez esperan que el precio relativo de los activos se mantenga cerca de 1, entonces LMSR (en comparación con CPMM, donde LMSR concentra la liquidez cerca del precio 1) sería muy adecuado; mientras que nuestro marco sugiere que si se espera que el precio se diversifique (como en el caso de los tokens de resultado), entonces hay razones para concentrar la liquidez cerca de 1.
Modelos de AMM de todo tipo
Creador de mercado automático
Podemos considerar un mercado predictivo sobre un solo evento, así como un AMM que comercia con dos activos competidores. Uno de los activos de riesgo se denota como x, que paga 1 dólar si el evento ocurre, de lo contrario no paga nada; el otro activo de riesgo se denota como y, con un método de pago inverso. AMM mantiene la invarianza f(x,y)=L, donde f(⋅,⋅) es una función invariante de la reserva (x,y) y L es una constante. Dado el precio del activo x P (en dólares), la función de valor del fondo de activos es:
Este es el valor del fondo de activos cuando el precio de x es P. Dado que mantener una unidad de activos x e y es equivalente a mantener efectivo, debemos establecer que el precio de y es 1-P. Supongamos que hay un grupo de arbitrajistas que pueden observar el precio del activo x Pt (y el precio del activo y 1-Pt) en cada tiempo t. Supongamos que no hay tarifas de transacción ni otras fricciones, estos arbitrajistas monitorearán continuamente AMM y tratarán de aprovechar cualquier error de precios de AMM. En su búsqueda de maximizar sus propias ganancias, realizarán transacciones contra AMM para minimizar el valor de la reserva de AMM. Si denotamos Vt como el valor de la reserva en t (cuando el precio es Pt), entonces Vt = V(Pt).
Ejemplo 1: En el caso del creador de mercado de producto constante (CPMM), la invarianza es f(x,y)≜xy, y la función de valor del fondo de activos es:
Ejemplo 2: La regla de puntuación de mercado logarítmico (LMSR) creada por Robin Hanson puede verse como un AMM que satisface la siguiente invarianza.
Su función de valor del fondo de activos es (proporcional a la entropía binaria de los eventos implícitos en los precios):
Denotemos x ∗(P) y y∗(P) como la solución óptima del problema de optimización (1), asumimos que existen, son únicas y son funciones suficientemente suaves del precio P, entonces la siguiente fórmula es similar al teorema 1 de Milionis et al., pero aplicable al entorno actual:
Teorema 1. Para todos los precios P≥0, la función de valor del fondo de activos satisface:
Dinámica de puntuaciones gaussianas
¿Cómo evoluciona el precio de los activos de riesgo en función de lo que llamamos dinámica de puntuaciones gaussianas a lo largo del tiempo? En particular, asumimos que existe un proceso aleatorio {Zt} en el intervalo de tiempo t∈[0,T], donde el evento está determinado por el signo de Zt al final del intervalo t=T: si ZT≥0, entonces el activo x se paga, si ZT<0, entonces el activo y se paga. Podemos entender Zt como la diferencia de puntuación entre los dos equipos en una competencia bilateral. Por lo tanto, consideraremos Zt como el proceso de puntuación. Tenga en cuenta que, aunque nuestro modelo asume la existencia de este proceso de puntuación, AMM no necesita observar directamente estos procesos. Como se describe a continuación, AMM puede inferir el valor actual de la puntuación en función del precio marginal (después del arbitraje) y el tiempo de vencimiento.
Asumimos que Zt sigue un movimiento aleatorio. En particular, asumimos que Zt es un movimiento browniano con volatilidad σ>0, es decir, dZt=σdBt, donde Bt es un movimiento browniano estándar. Entonces, no es difícil ver que el precio Pt del activo x en el tiempo t es:
Donde, Φ(⋅) es la función de distribución acumulativa normal estándar (CDF). Aplicando el teorema de Itô, Pt debe cumplir:
Donde, ϕ(⋅) es la función de densidad de probabilidad normal estándar, y Φ-1(⋅) es la función de distribución acumulativa inversa. Tenga en cuenta que, aunque la dinámica de puntuaciones y la conversión de puntuaciones a precios o la conversión inversa depende de σ, la dinámica del proceso de precios aislado Pt no depende de σ. Las dinámicas de estas volatilidades en relación con el precio y el tiempo restante se muestran en la figura 3.
AMM Unificado
De acuerdo con la discusión anterior, si usamos Vt para representar el valor de la reserva del fondo de activos en el tiempo t (cuando el precio es Pt), entonces Vt=V(Pt). Aplicando el teorema de Itô, podemos derivar que el valor del fondo de activos varía según la siguiente fórmula:
Dado que el precio Pt es una martingala, entonces el segundo término de (2) también es una martingala, que puede ser creciente o decreciente. Sin embargo, según V(⋅) (ver teorema 1), el primer término corresponde a una transformación negativa, por lo que es un proceso decreciente. Esta es la pérdida y el proceso de reequilibrio propuesto por Milionis et al., que captura el valor perdido por los arbitrajistas que realizan transacciones de cobertura en precios desfavorables. Definimos la tasa instantánea de esta pérdida como:
Milionis et al. encontraron que, para activos que siguen un movimiento browniano geométrico, en esencia solo el creador de mercado de media geométrica es el AMM unificado. En un mercado predictivo bajo puntuaciones gaussianas, para investigar (3), el fondo LVR unificado debe resolver la siguiente ecuación diferencial ordinaria (ODE):
Esto es imposible, ya que el lado izquierdo de la ecuación depende de t, mientras que el derecho no depende de t. El problema central aquí es que la dinámica del movimiento browniano geométrico es invariante a través del tiempo, mientras que la dinámica de puntuaciones gaussianas está altamente correlacionada con el tiempo.
Para evitar este problema, permitimos que α dependa del tiempo, es decir, podemos establecer α=β/(T-t), donde β>0, considerando así un escenario como:
Esto es equivalente a la ODE para P≥0. Además, V(⋅) tiene algunos requisitos adicionales, como V′′(P)≤0 (ver teorema 1).
pm-AMM estático
Al cambiar la variable u=Φ-1(P), se puede simplificar la ODE anterior. Cuando β=1/2, hay una solución que cumple tanto con la ODE como con el requisito adicional de concavidad, cuyo valor es:
Las reservas de los tokens x e y son:
Aquí, L≥0 es un parámetro de liquidez que determina la escala del tamaño del fondo. Observando y∗(P)-x∗(P)=LΦ-1(P), e insertándolo en (5), la reserva del fondo (x,y) debe cumplir con la invarianza:
Esta es la definición del pm-AMM estático. Según el diseño, este AMM satisface la siguiente relación:
Definimos Vˉt=E[Vt] como el valor esperado del fondo, y de (2) se puede deducir:
Al resolver esta ecuación diferencial ordinaria, se puede llegar a la siguiente respuesta. En otras palabras, en condiciones esperadas, el valor del fondo de activos del pm-AMM estático se deprecia según la raíz cuadrada del rango de tiempo restante.
pm-AMM dinámico
Una desventaja del pm-AMM estático es que, aunque su LVR por cada dólar de valor es unificado en todos los posibles precios, varía con el tiempo. En particular, la pérdida de cada dólar de valor es inversamente proporcional al tiempo hasta el vencimiento, por lo que aumentará con el tiempo hasta perder todo su valor al vencimiento.
Liquidez dinámica. Imaginamos una variante dinámica del diseño de pm-AMM estático, donde los LP de AMM extraen liquidez a lo largo del tiempo para reducir pérdidas. En particular, asumimos que el valor del fondo es:
Donde, Lt es una función suave determinística que determina el grado en que se elimina (o puede ser aumentada) la liquidez con el tiempo. Aplicando el teorema de Itô al proceso de valor del fondo de activos Vt≜V(Pt,t), tenemos:
Denotemos Ct como el valor acumulado en dólares de la liquidez extraída. Dado que el valor del fondo de activos tiene una relación lineal con la liquidez Lt, el valor en dólares del cambio en Lt es proporcional a Vt/LT. Podemos obtener:
La riqueza total de los LP de AMM Wt está compuesta por el valor de la reserva del fondo y el valor acumulado de la liquidez extraída, por lo que Wt=Vt+Ct, y cumple con:
Esto significa que la riqueza esperada de LP Wˉt≜E[Wt] cumple con las siguientes condiciones, donde Vˉt≜E[VT］.
Ahora, consideremos la elección específica de la curva de liquidez como sigue:
Lo llamamos pm-AMM dinámico. Y de acuerdo con (7), el valor esperado del fondo de activos Vˉt=E[Vt] cumple con:
Al resolver esta ecuación diferencial ordinaria, se puede obtener la siguiente respuesta.
En otras palabras, en el pm-AMM dinámico, después de deducir retiros, el valor esperado del fondo de activos disminuye linealmente. Además, debido a que hereda la función de valor del pm-AMM estático, la tasa de pérdida de LVR por unidad de tiempo es:
La tasa de pérdida esperada es el siguiente valor, que se mantiene constante durante el período t. En otras palabras, a medida que avanza el tiempo, el pm-AMM dinámico perderá (esperadamente) la financiación de los arbitrajistas a una tasa constante.
Finalmente, según (8), el proceso de riqueza esperada se muestra en la figura a continuación. Por lo tanto, la mitad de la riqueza inicial se perderá al final.
Conclusión
pm-AMM puede ser aplicable a mercados predictivos impulsados dinámicamente por modelos dinámicos como el de puntuación gaussiana. Además, nuestra investigación también sugiere que AMM unificado puede ser aplicable a otros tipos de activos, como bonos, opciones y otros derivados.